Давайте найдём производную второго порядка для функции, заданной параметрически, $x = 2\sin t$ и $y = -3\cos t$.

Шаг 1. Найти производные $x'(t)$ и $y'(t)$

$x = 2\sin t \implies x'(t) = 2\cos t$ $y = -3\cos t \implies y'(t) = 3\sin t$

Шаг 2. Найти $\frac{dy}{dx}$

По правилу: $\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)} = \frac{3\sin t}{2\cos t} = \frac{3}{2}\tan t$

Шаг 3. Найти $\frac{d^2y}{dx^2}$

Первая производная $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}\tan t$. Чтобы найти вторую производную $\frac{d^2y}{dx^2}$, используем формулу: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \div x'(t)$

Найдём производную $\frac{d}{dt} \left( \frac{3}{2} \tan t \right)$:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{3}{2}\tan t\right) = \frac{3}{2} \cdot \sec^2 t$

Разделим на $x'(t)$:

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{3}{2}\sec^2 t}{2\cos t} = \frac{3}{4} \frac{\sec^2 t}{\cos t} = \frac{3}{4} \frac{1}{\cos^3 t} = \frac{3}{4\cos^3 t}$

Ответ:

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3}{4\cos^3 t}$

---

Если у вас есть вопросы или вы хотите подробное объяснение, дайте знать!

Вопросы для размышления:

1. Как интерпретировать вторую производную для параметрически заданной функции?
2. Как найти третью производную параметрически заданной функции?
3. Что происходит с производной, если $\cos t = 0$?
4. Как найти точку перегиба в данном параметрическом уравнении?
5. Какие ещё способы есть для нахождения производных у параметрических функций?

Совет: Для проверки производной удобно подставить конкретные значения параметра $t$ и убедиться, что результат согласуется с геометрической интерпретацией.