Berikut adalah contoh studi kasus yang melibatkan metode Secant dari materi Metode Numerik:

Studi Kasus:

Misalkan kita diminta mencari akar dari fungsi non-linear berikut menggunakan metode Secant:

$f(x) = x^3 - 4x^2 + 6$

Tujuannya adalah menemukan nilai $x$ yang membuat $f(x) = 0$.

Langkah-Langkah Menggunakan Metode Secant:

1. Persamaan yang digunakan: Metode Secant memerlukan dua perkiraan awal $x_0$ dan $x_1$, dan menghitung akar secara iteratif menggunakan rumus berikut:

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)(x_n - x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})}$

2. Langkah pertama: Tentukan dua tebakan awal $x_0$ dan $x_1$:
   Mari kita pilih tebakan awal $x_0 = 1$ dan $x_1 = 2$.

3. Langkah kedua: Hitung $f(x_0)$ dan $f(x_1)$:

   • $f(1) = (1)^3 - 4(1)^2 + 6 = 1 - 4 + 6 = 3$
   • $f(2) = (2)^3 - 4(2)^2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$

4. Langkah ketiga: Hitung iterasi pertama menggunakan rumus metode Secant:

   $x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)(x_1 - x_0)}{f(x_1) - f(x_0)}$

   Substitusi nilai:

   $x_2 = 2 - \frac{(-2)(2 - 1)}{-2 - 3} = 2 - \frac{(-2)(1)}{-5} = 2 + 0.4 = 2.4$

5. Langkah keempat: Ulangi langkah di atas hingga mencapai toleransi yang diinginkan.

   Kita lanjutkan beberapa iterasi lagi hingga mendekati akar yang diinginkan. Mari hitung $f(x_2)$:

   • $f(2.4) = (2.4)^3 - 4(2.4)^2 + 6 = 13.824 - 23.04 + 6 = -3.216$

   Sekarang, gunakan $x_1 = 2.4$ dan $x_0 = 2$ untuk menghitung $x_3$:

   $x_3 = 2.4 - \frac{(-3.216)(2.4 - 2)}{-3.216 - (-2)} = 2.4 - \frac{(-3.216)(0.4)}{-1.216} = 2.4 + 1.06 = 3.46$

   Iterasi ini terus dilakukan hingga akar ditemukan dengan tingkat toleransi yang cukup kecil.

Kesimpulan:

Metode Secant adalah salah satu metode numerik untuk mencari akar persamaan non-linear dengan memperbaiki dua tebakan awal secara iteratif. Dengan melakukan iterasi beberapa kali, kita dapat memperoleh nilai akar yang lebih mendekati solusi yang diinginkan.

---

Apakah Anda ingin saya melanjutkan proses iterasi untuk menemukan akar lebih lanjut? Atau apakah Anda ingin penjelasan lebih detail tentang setiap langkah?

Berikut 5 pertanyaan terkait yang dapat Anda coba:

1. Apa bedanya metode Secant dengan metode Newton-Raphson?
2. Bagaimana cara menentukan tebakan awal $x_0$ dan $x_1$ yang baik pada metode Secant?
3. Mengapa metode Secant sering lebih efisien dibandingkan metode Bisection?
4. Dalam kasus apa metode Secant tidak berhasil menemukan akar?
5. Bagaimana penerapan metode Secant dalam dunia nyata?

Tip: Metode Secant tidak memerlukan turunan seperti metode Newton, tetapi membutuhkan dua tebakan awal yang cukup dekat agar cepat konvergen.