Tehtävänannossa oletetaan, että satunnaismuuttuja $X$ on normaalijakautunut $N(\mu, 2.2^2)$, ja halutaan määrittää otoskoko $n$, jotta odotusarvon $\mu$ 99 %:n luottamusvälin pituus ei ylitä arvoa 1,5.

99 %:n luottamusväli odotusarvolle $\mu$ voidaan ilmaista seuraavasti:

$\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

missä:

• $\bar{X}$ on otoskeskiarvo
• $z_{\alpha/2}$ on standardinormaalijakauman kriittinen arvo 99 %:n luottamustasolla (noin 2,576)
• $\sigma = 2.2$ on populaation keskihajonta
• $n$ on otoskoko.

Luottamusvälin pituus on:

$2 \times z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$

Tämän luottamusvälin pituuden täytyy olla korkeintaan 1,5, joten voimme asettaa seuraavan epäyhtälön:

$2 \times 2.576 \cdot \frac{2.2}{\sqrt{n}} \leq 1.5.$

Ratkaistaan $n$ seuraavasti:

1. Jaa molemmat puolet kahdella:

   $2.576 \cdot \frac{2.2}{\sqrt{n}} \leq 0.75.$

2. Kerrotaan epäyhtälö molemmat puolet $\sqrt{n}$:llä:

   $2.576 \cdot 2.2 \leq 0.75 \sqrt{n}.$

3. Ratkaistaan $\sqrt{n}$ jakamalla molemmat puolet 0.75:llä:

   $\sqrt{n} \geq \frac{2.576 \cdot 2.2}{0.75}.$

4. Laske oikea puoli:

   $\sqrt{n} \geq \frac{2.576 \cdot 2.2}{0.75} \approx 7.557.$

5. Korotetaan molemmat puolet toiseen potenssiin:

   $n \geq (7.557)^2 \approx 57.08.$

Koska $n$ täytyy olla kokonaisluku, pyöristetään seuraavaan kokonaislukuun:

$n = 58.$

Vastaus: Otoskooksi on valittava vähintään $n = 58$, jotta 99 %:n luottamusvälin pituus odotusarvolle $\mu$ ei ylitä 1,5.

Haluatko lisää yksityiskohtia tai onko kysyttävää?

Liittyvät kysymykset:

1. Kuinka muuttuu luottamusvälin pituus, jos luottamustaso on 95 %?
2. Miten otoskoko vaikuttaa luottamusvälin leveyteen?
3. Kuinka kriittinen arvo $z_{\alpha/2}$ määritetään eri luottamustasoille?
4. Mikä on otoskooksi vaadittava arvo, jos keskihajonta on eri?
5. Miten otoskoko määritellään, jos tiedot eivät ole normaalisti jakautuneet?

Vinkki:

Otoskoon kasvaessa luottamusväli kapenee, mutta myös kustannukset ja resurssit vaaditaan suurempina. Optimaalinen otoskoko tasapainottaa tarkkuuden ja resurssien käytön.