Estimoitaessa normaalisti N(𝜇
; 2,2) jakautuneen satunnaissuureen odotusarvoa 𝜇
, otetaan n kpl:n otos. Kuinka suuri otos on valittava, että 𝜇
:n 99 %:n luottamusvälin pituus ei ole suurempi kuin 1,5?

Tehtävänannossa oletetaan, että satunnaismuuttuja \(X\) on normaalijakautunut \( N(\mu, 2.2^2) \), ja halutaan määrittää otoskoko \( n \), jotta odotusarvon \(\mu\) 99 %:n luottamusvälin pituus ei ylitä arvoa 1,5.

99 %:n luottamusväli odotusarvolle \(\mu\) voidaan ilmaista seuraavasti:

\[
\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]

missä:
- \(\bar{X}\) on otoskeskiarvo
- \( z_{\alpha/2} \) on standardinormaalijakauman kriittinen arvo 99 %:n luottamustasolla (noin 2,576)
- \(\sigma = 2.2\) on populaation keskihajonta
- \( n \) on otoskoko.

Luottamusvälin pituus on:

\[
2 \times z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
\]

Tämän luottamusvälin pituuden täytyy olla korkeintaan 1,5, joten voimme asettaa seuraavan epäyhtälön:

\[
2 \times 2.576 \cdot \frac{2.2}{\sqrt{n}} \leq 1.5.
\]

Ratkaistaan \( n \) seuraavasti:

1. Jaa molemmat puolet kahdella:

   \[
   2.576 \cdot \frac{2.2}{\sqrt{n}} \leq 0.75.
   \]

2. Kerrotaan epäyhtälö molemmat puolet \( \sqrt{n} \):llä:

   \[
   2.576 \cdot 2.2 \leq 0.75 \sqrt{n}.
   \]

3. Ratkaistaan \( \sqrt{n} \) jakamalla molemmat puolet 0.75:llä:

   \[
   \sqrt{n} \geq \frac{2.576 \cdot 2.2}{0.75}.
   \]

4. Laske oikea puoli:

   \[
   \sqrt{n} \geq \frac{2.576 \cdot 2.2}{0.75} \approx 7.557.
   \]

5. Korotetaan molemmat puolet toiseen potenssiin:

   \[
   n \geq (7.557)^2 \approx 57.08.
   \]

Koska \( n \) täytyy olla kokonaisluku, pyöristetään seuraavaan kokonaislukuun:

\[
n = 58.
\]

**Vastaus:** Otoskooksi on valittava vähintään \( n = 58 \), jotta 99 %:n luottamusvälin pituus odotusarvolle \(\mu\) ei ylitä 1,5.

### Haluatko lisää yksityiskohtia tai onko kysyttävää?

#### Liittyvät kysymykset:
1. Kuinka muuttuu luottamusvälin pituus, jos luottamustaso on 95 %?
2. Miten otoskoko vaikuttaa luottamusvälin leveyteen?
3. Kuinka kriittinen arvo \( z_{\alpha/2} \) määritetään eri luottamustasoille?
4. Mikä on otoskooksi vaadittava arvo, jos keskihajonta on eri?
5. Miten otoskoko määritellään, jos tiedot eivät ole normaalisti jakautuneet?

#### Vinkki: 
Otoskoon kasvaessa luottamusväli kapenee, mutta myös kustannukset ja resurssit vaaditaan suurempina. Optimaalinen otoskoko tasapainottaa tarkkuuden ja resurssien käytön.

Estimoitaessa normaalisti N(𝜇; 2,2) jakautuneen satunnaissuureen odotusarvoa 𝜇, otetaan n kpl:n otos. Kuinka suuri otos on valittava, että 𝜇:n 99 %:n luottamusvälin pituus ei ole suurempi kuin 1,5?

Learn how to determine the sample size required to ensure that the 99% confidence interval for the mean of a normally distributed variable with a standard deviation of 2.2 has a length of no more than 1.5. This problem involves key statistical concepts such as confidence intervals, normal distribution, and sample size determination.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation