Math Problem Statement

(Grupos) Recordemos que una permutación en un conjunto A es una biyección de A hacia A. Supongamos que A = {A0, A1, A2, A3} a0= 3, a1=4, a2=5, a4=6. hay 4! = 24 diferentes permutaciones en A. Llamaremos al conjunto de las 24 permutaciones S4. Determine la tabla completa para la operación de composición de funciones.

Solution

La tarea de construir la tabla completa de composición de funciones para el grupo de permutaciones S4S_4 implica listar todas las 24 permutaciones de S4S_4 y realizar la composición de cada par de permutaciones.

Pasos para construir la tabla:

  1. Listar las permutaciones: Enumeramos las 24 permutaciones de S4S_4. Una permutación puede representarse en notación de dos filas o como una lista. Por ejemplo:

    • Identidad: e=(1 2 3 4)e = (1\ 2\ 3\ 4).
    • Una permutación: σ=(2 3 1 4)\sigma = (2\ 3\ 1\ 4), lo que significa que σ(1)=2\sigma(1) = 2, σ(2)=3\sigma(2) = 3, σ(3)=1\sigma(3) = 1, σ(4)=4\sigma(4) = 4.
  2. Definir la operación de composición:

    • La composición στ\sigma \circ \tau significa que aplicamos τ\tau primero y luego σ\sigma. Por ejemplo: (στ)(x)=σ(τ(x)).(\sigma \circ \tau)(x) = \sigma(\tau(x)).
  3. Construir la tabla:

    • Organizar las permutaciones en las filas y columnas de la tabla.
    • Para cada par (σ,τ)(\sigma, \tau), calcular la composición στ\sigma \circ \tau y rellenar la celda correspondiente.

Ejemplo ilustrativo con S3S_3 (simplificado):

Supongamos que estamos trabajando con S3S_3 para ilustrar el proceso. Las permutaciones son:

  • e=(1 2 3)e = (1\ 2\ 3)
  • σ=(2 1 3)\sigma = (2\ 1\ 3)
  • τ=(1 3 2)\tau = (1\ 3\ 2)
  • ρ=(3 2 1)\rho = (3\ 2\ 1)
  • α=(2 3 1)\alpha = (2\ 3\ 1)
  • β=(3 1 2)\beta = (3\ 1\ 2).

La tabla para S3S_3 sería:

\circeeσ\sigmaτ\tauρ\rhoα\alphaβ\beta
eeeeσ\sigmaτ\tauρ\rhoα\alphaβ\beta
σ\sigmaσ\sigmaeeα\alphaβ\betaτ\tauρ\rho
τ\tauτ\tauβ\betaeeα\alphaρ\rhoσ\sigma
ρ\rhoρ\rhoα\alphaβ\betaeeσ\sigmaτ\tau
α\alphaα\alphaρ\rhoσ\sigmaτ\taueeβ\beta
β\betaβ\betaτ\tauρ\rhoσ\sigmaα\alphaee

Generalización para S4S_4:

  • S4S_4 tiene 24 elementos, lo que significa que la tabla será de 24×2424 \times 24 elementos.
  • El proceso sigue exactamente el mismo patrón, pero requiere una cuidadosa enumeración y cálculo para cada par.

¿Te gustaría que genere una porción específica de la tabla de S4S_4 o que explique más sobre cómo se componen las funciones?

Preguntas relacionadas:

  1. ¿Qué significa que S4S_4 sea un grupo simétrico?
  2. ¿Cómo se representa gráficamente una permutación?
  3. ¿Qué propiedades cumple la composición en el conjunto S4S_4?
  4. ¿Cómo se puede reducir el esfuerzo para calcular tablas de composición grandes?
  5. ¿Qué aplicaciones tiene el grupo S4S_4 en álgebra abstracta y geometría?

Tip:

La composición de funciones es asociativa, lo que simplifica su estudio en el contexto de grupos.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Permutations
Group Theory
Function Composition
Symmetric Groups

Formulas

Number of permutations: n! (n factorial)
Composition of functions: (σ ∘ τ)(x) = σ(τ(x))

Theorems

Group closure under composition
Associativity of composition
Existence of identity element in S4
Existence of inverses for all elements in S4

Suitable Grade Level

Grades 11-12 / Undergraduate Level