Math Problem Statement
(Grupos) Recordemos que una permutación en un conjunto A es una biyección de A hacia A. Supongamos que A = {A0, A1, A2, A3} a0= 3, a1=4, a2=5, a4=6. hay 4! = 24 diferentes permutaciones en A. Llamaremos al conjunto de las 24 permutaciones S4. Determine la tabla completa para la operación de composición de funciones.
Solution
La tarea de construir la tabla completa de composición de funciones para el grupo de permutaciones implica listar todas las 24 permutaciones de y realizar la composición de cada par de permutaciones.
Pasos para construir la tabla:
-
Listar las permutaciones: Enumeramos las 24 permutaciones de . Una permutación puede representarse en notación de dos filas o como una lista. Por ejemplo:
- Identidad: .
- Una permutación: , lo que significa que , , , .
-
Definir la operación de composición:
- La composición significa que aplicamos primero y luego . Por ejemplo:
-
Construir la tabla:
- Organizar las permutaciones en las filas y columnas de la tabla.
- Para cada par , calcular la composición y rellenar la celda correspondiente.
Ejemplo ilustrativo con (simplificado):
Supongamos que estamos trabajando con para ilustrar el proceso. Las permutaciones son:
- .
La tabla para sería:
Generalización para :
- tiene 24 elementos, lo que significa que la tabla será de elementos.
- El proceso sigue exactamente el mismo patrón, pero requiere una cuidadosa enumeración y cálculo para cada par.
¿Te gustaría que genere una porción específica de la tabla de o que explique más sobre cómo se componen las funciones?
Preguntas relacionadas:
- ¿Qué significa que sea un grupo simétrico?
- ¿Cómo se representa gráficamente una permutación?
- ¿Qué propiedades cumple la composición en el conjunto ?
- ¿Cómo se puede reducir el esfuerzo para calcular tablas de composición grandes?
- ¿Qué aplicaciones tiene el grupo en álgebra abstracta y geometría?
Tip:
La composición de funciones es asociativa, lo que simplifica su estudio en el contexto de grupos.
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Permutations
Group Theory
Function Composition
Symmetric Groups
Formulas
Number of permutations: n! (n factorial)
Composition of functions: (σ ∘ τ)(x) = σ(τ(x))
Theorems
Group closure under composition
Associativity of composition
Existence of identity element in S4
Existence of inverses for all elements in S4
Suitable Grade Level
Grades 11-12 / Undergraduate Level
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