Pour résoudre cet exercice, nous devons aborder chaque question étape par étape. Voici un résumé des différentes étapes à suivre :

1. Donner les valeurs des vitesses de rotation d'Euler : $\varphi$, $\psi$ et $\theta$

Les vitesses de rotation d'Euler $\varphi$, $\psi$, et $\theta$ sont généralement liées aux rotations d'un objet autour de ses axes. Cependant, dans cet exercice, il semble que nous devrons d'abord établir les relations géométriques et cinématiques à partir de la configuration donnée. Le système décrit implique un disque qui tourne autour de son propre axe et est relié à une manivelle.

2. Donner le vecteur vitesse de rotation $\mathbf{\Omega}$ du disque dans la base $(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k})$ et calculer son accélération angulaire $\mathbf{\alpha}$

Le vecteur vitesse de rotation $\mathbf{\Omega}$ se calcule en fonction des vitesses angulaires. Nous devons exprimer cette vitesse dans la base choisie. Pour l'accélération angulaire, elle est donnée par la dérivée temporelle de la vitesse angulaire $\mathbf{\Omega}$.

3. Calculer la vitesse du point $O$

La vitesse du point $O$ peut être calculée en utilisant la relation suivante pour la vitesse d'un point en rotation : $\mathbf{v} = \mathbf{\omega} \times \mathbf{r}$ où $\mathbf{\omega}$ est la vitesse angulaire et $\mathbf{r}$ est le vecteur position du point par rapport à l'axe de rotation.

4. Donner le tenseur d'inertie du disque en $O$ dans la base $(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k})$

Le tenseur d'inertie d'un disque peut être calculé en fonction de sa masse $m$ et de son rayon $R$, en utilisant la formule standard pour un disque tournant autour de son propre axe.

5. Calculer le moment cinétique du disque en $O$ dans la base $(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k})$

Le moment cinétique $\mathbf{L}$ se calcule à l'aide de la formule : $\mathbf{L} = I \cdot \mathbf{\omega}$ où $I$ est le tenseur d'inertie et $\mathbf{\omega}$ est le vecteur vitesse angulaire.

6. Calculer l'énergie cinétique du disque

L'énergie cinétique totale d'un objet en rotation est donnée par la formule : $E_k = \frac{1}{2} \mathbf{\omega}^T I \mathbf{\omega}$ où $\mathbf{\omega}$ est la vitesse angulaire et $I$ le tenseur d'inertie.

Je vais maintenant procéder à résoudre chaque point de manière détaillée. Voulez-vous que je commence par la première question et que je poursuive ensuite ?