Untuk mencari akar dari persamaan $3x - e^x = 0$ menggunakan metode biseksi pada selang $(0, 1)$ dengan keakurasian hingga $10^{-5}$, kita bisa mengikuti langkah-langkah berikut:

Langkah-langkah Metode Biseksi:

1. Tentukan fungsi f(x): Fungsi yang ingin kita cari akarnya adalah: $f(x) = 3x - e^x$

2. Cek tanda fungsi pada kedua ujung selang: Pada interval $(a, b)$ dengan $a = 0$ dan $b = 1$, kita hitung nilai fungsi pada kedua batas: $f(a) = f(0) = 3(0) - e^0 = 0 - 1 = -1$ $f(b) = f(1) = 3(1) - e^1 = 3 - e \approx 3 - 2.718 = 0.282$ Karena $f(0) = -1$ dan $f(1) = 0.282$, terdapat perubahan tanda, yang menunjukkan bahwa akar berada di dalam selang tersebut.

3. Proses Biseksi: Kita akan iterasi untuk menemukan akar dengan membagi selang menjadi dua bagian dan memeriksa di mana perubahan tanda terjadi. Langkah-langkah iteratif adalah sebagai berikut:

   • Hitung titik tengah $m$ dari selang $[a, b]$: $m = \frac{a + b}{2}$
   • Evaluasi fungsi pada titik tengah $f(m)$.
   • Tentukan selang baru:
     • Jika $f(a) \cdot f(m) < 0$, maka akar berada di selang $[a, m]$, dan kita setel $b = m$.
     • Jika $f(m) \cdot f(b) < 0$, maka akar berada di selang $[m, b]$, dan kita setel $a = m$.
   • Ulangi langkah-langkah tersebut sampai $|b - a|$ lebih kecil dari keakurasian yang diinginkan (dalam hal ini $10^{-5}$).

Iterasi pertama:

• Interval awal: $[a, b] = [0, 1]$
• Titik tengah $m = \frac{0 + 1}{2} = 0.5$
• Evaluasi $f(0.5)$: $f(0.5) = 3(0.5) - e^{0.5} = 1.5 - \sqrt{e} \approx 1.5 - 1.6487 = -0.1487$ Karena $f(0) \cdot f(0.5) = -1 \cdot -0.1487 > 0$, kita setel $a = 0.5$.

Iterasi kedua:

• Interval baru: $[0.5, 1]$
• Titik tengah $m = \frac{0.5 + 1}{2} = 0.75$
• Evaluasi $f(0.75)$: $f(0.75) = 3(0.75) - e^{0.75} = 2.25 - 2.117 = 0.133$ Karena $f(0.5) \cdot f(0.75) = -0.1487 \cdot 0.133 > 0$, kita setel $b = 0.75$.

Iterasi ketiga:

• Interval baru: $[0.5, 0.75]$
• Titik tengah $m = \frac{0.5 + 0.75}{2} = 0.625$
• Evaluasi $f(0.625)$: $f(0.625) = 3(0.625) - e^{0.625} = 1.875 - 1.868 = 0.007$ Karena $f(0.5) \cdot f(0.625) = -0.1487 \cdot 0.007 > 0$, kita setel $b = 0.625$.

Iterasi keempat:

• Interval baru: $[0.5, 0.625]$
• Titik tengah $m = \frac{0.5 + 0.625}{2} = 0.5625$
• Evaluasi $f(0.5625)$: $f(0.5625) = 3(0.5625) - e^{0.5625} = 1.6875 - 1.756 = -0.0685$ Karena $f(0.5625) \cdot f(0.625) = -0.0685 \cdot 0.007 > 0$, kita setel $a = 0.5625$.

Proses ini terus berlanjut, dan setiap iterasi akan mempersempit interval hingga selisih $|b - a|$ lebih kecil dari $10^{-5}$.

Pertanyaan Lanjutan:

1. Apa yang terjadi jika kita memilih interval yang berbeda?
2. Bagaimana jika fungsi yang digunakan bukan kontinu?
3. Apakah ada metode lain yang lebih cepat selain metode biseksi?
4. Bagaimana cara memvisualisasikan hasil metode biseksi dalam grafik?
5. Bagaimana cara menentukan konvergensi dalam metode biseksi?

Tip:

Dalam metode biseksi, pastikan bahwa fungsi yang digunakan kontinu pada interval yang diberikan untuk menjamin bahwa metode ini dapat menemukan akar.