Для решения задачи обозначим следующие величины:

• Прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$, $\angle A$ — больший острый угол, $\angle B$ — меньший острый угол.
• $AC = b$ — меньший катет, $BC = a$ — больший катет, $AB = c$ — гипотенуза.
• Биссектриса угла $A$ пересекает катет $BC$ в точке $D$, причем $BD = 6$ см.

Шаг 1: Найдем значения углов

Из условия разности острых углов:

$\angle A - \angle B = 30^\circ$

Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то $\angle A + \angle B = 90^\circ$. Обозначим угол $A$ как $\alpha$, тогда угол $B$ можно выразить как $\beta = 90^\circ - \alpha$. Используя условие $\alpha - \beta = 30^\circ$, подставим значение угла $B$:

$\alpha - (90^\circ - \alpha) = 30^\circ$

$2\alpha - 90^\circ = 30^\circ$

$2\alpha = 120^\circ$

$\alpha = 60^\circ$

Следовательно, $\beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Шаг 2: Используем свойства биссектрисы

Биссектриса угла $A$ делит катет $BC$ на отрезки $BD$ и $DC$ в отношении сторон треугольника, то есть:

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$

Обозначим $BD = 6$ см, а $DC = x$. Тогда:

$\frac{6}{x} = \frac{c}{b}$

Отсюда:

$x = \frac{6b}{c}$

Шаг 3: Найдем стороны треугольника

Из треугольника с углами $60^\circ$, $30^\circ$ и $90^\circ$ известно соотношение сторон: против угла $30^\circ$ лежит катет, равный половине гипотенузы, а против угла $60^\circ$ — катет, равный $\frac{\sqrt{3}}{2}$ гипотенузы. Таким образом:

$a = \frac{\sqrt{3}}{2} c, \quad b = \frac{c}{2}$

Подставим это в выражение для $x$:

$x = \frac{6 \cdot \frac{c}{2}}{c} = 3$

Значит, $DC = 3$ см, и весь катет $BC = BD + DC = 6 + 3 = 9$ см.

Шаг 4: Найдем гипотенузу

Так как $BC = a = \frac{\sqrt{3}}{2} c$, то:

$9 = \frac{\sqrt{3}}{2} c$

Отсюда гипотенуза $c$ равна:

$c = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$

Шаг 5: Найдем больший катет

Больший катет $a$ равен:

$a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 9$

Ответ: длина большего катета $BC = 9$ см.

Вопросы для закрепления:

1. Какие свойства биссектрисы применяются в прямоугольных треугольниках?
2. Как использовать соотношения сторон в треугольнике $30^\circ - 60^\circ - 90^\circ$?
3. Почему гипотенуза оказалась кратной корню из трёх?
4. Каковы общие свойства биссектрис в произвольных треугольниках?
5. Можно ли решить задачу, если биссектриса проведена из меньшего угла?

Совет:

Всегда внимательно проверяйте условия задач, особенно в отношении свойств треугольников (например, углы и соотношения сторон).