В прямоугольном треугольнике провели биссектрису большего острого угла. Найти длину большего катета, если известно, что точка пересечения биссектрисы большего угла с катетом удалена от гипотенузы на 6 см, а разность величин острых углов треугольника равна 30

Для решения задачи обозначим следующие величины:

- Прямоугольный треугольник \(ABC\), где \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle A \) — больший острый угол, \( \angle B \) — меньший острый угол.
- \(AC = b\) — меньший катет, \(BC = a\) — больший катет, \(AB = c\) — гипотенуза.
- Биссектриса угла \(A\) пересекает катет \(BC\) в точке \(D\), причем \(BD = 6\) см.

### Шаг 1: Найдем значения углов
Из условия разности острых углов:

\[
\angle A - \angle B = 30^\circ
\]

Так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), то \( \angle A + \angle B = 90^\circ \). Обозначим угол \(A\) как \(\alpha\), тогда угол \(B\) можно выразить как \(\beta = 90^\circ - \alpha\). Используя условие \(\alpha - \beta = 30^\circ\), подставим значение угла \(B\):

\[
\alpha - (90^\circ - \alpha) = 30^\circ
\]

\[
2\alpha - 90^\circ = 30^\circ
\]

\[
2\alpha = 120^\circ
\]

\[
\alpha = 60^\circ
\]

Следовательно, \( \beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).

### Шаг 2: Используем свойства биссектрисы
Биссектриса угла \(A\) делит катет \(BC\) на отрезки \(BD\) и \(DC\) в отношении сторон треугольника, то есть:

\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

Обозначим \(BD = 6\) см, а \(DC = x\). Тогда:

\[
\frac{6}{x} = \frac{c}{b}
\]

Отсюда:

\[
x = \frac{6b}{c}
\]

### Шаг 3: Найдем стороны треугольника
Из треугольника с углами \(60^\circ\), \(30^\circ\) и \(90^\circ\) известно соотношение сторон: против угла \(30^\circ\) лежит катет, равный половине гипотенузы, а против угла \(60^\circ\) — катет, равный \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) гипотенузы. Таким образом:

\[
a = \frac{\sqrt{3}}{2} c, \quad b = \frac{c}{2}
\]

Подставим это в выражение для \(x\):

\[
x = \frac{6 \cdot \frac{c}{2}}{c} = 3
\]

Значит, \(DC = 3\) см, и весь катет \(BC = BD + DC = 6 + 3 = 9\) см.

### Шаг 4: Найдем гипотенузу
Так как \(BC = a = \frac{\sqrt{3}}{2} c\), то:

\[
9 = \frac{\sqrt{3}}{2} c
\]

Отсюда гипотенуза \(c\) равна:

\[
c = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}
\]

### Шаг 5: Найдем больший катет
Больший катет \(a\) равен:

\[
a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 9
\]

Ответ: длина большего катета \(BC = 9\) см.

### Вопросы для закрепления:
1. Какие свойства биссектрисы применяются в прямоугольных треугольниках?
2. Как использовать соотношения сторон в треугольнике \(30^\circ - 60^\circ - 90^\circ\)?
3. Почему гипотенуза оказалась кратной корню из трёх?
4. Каковы общие свойства биссектрис в произвольных треугольниках?
5. Можно ли решить задачу, если биссектриса проведена из меньшего угла?

### Совет:
Всегда внимательно проверяйте условия задач, особенно в отношении свойств треугольников (например, углы и соотношения сторон).

В прямоугольном треугольнике провели биссектрису большего острого угла. Найти длину большего катета, если известно, что точка пересечения биссектрисы большего угла с катетом удалена от гипотенузы на 6 см, а разность величин острых углов треугольника равна 30.

Learn how to find the length of the larger leg in a right triangle where the bisector of the larger acute angle intersects the leg. This problem involves the angle bisector theorem and properties of a 30°-60°-90° triangle. Ideal for students in Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation