Мы имеем прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, в котором $\angle B = 90^\circ$, точка $N$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ на гипотенузу $AC$. Также дано: $AN = 18$ и $AC = 50$. Необходимо найти длину катета $BC$.

---

Решение:

1. Связь между высотой и частями гипотенузы: Из геометрии прямоугольного треугольника знаем, что высота, проведённая из прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу на две части, $AN$ и $NC$, такие, что: $h^2 = AN \cdot NC,$ где $h = BN$ — высота. Подставляем данные: $AC = AN + NC \implies NC = AC - AN = 50 - 18 = 32.$ Теперь: $BN^2 = AN \cdot NC \implies BN^2 = 18 \cdot 32 = 576 \implies BN = \sqrt{576} = 24.$

2. Используем теорему Пифагора: В $\triangle ABC$ известны:

   • $AB = h = 24$,
   • $AC = 50$ (гипотенуза). Необходимо найти $BC$. Теорема Пифагора: $AB^2 + BC^2 = AC^2.$ Подставляем известные данные: $24^2 + BC^2 = 50^2 \implies 576 + BC^2 = 2500 \implies BC^2 = 2500 - 576 = 1924.$ Таким образом: $BC = \sqrt{1924} \approx 43.87.$

---

Ответ:

$BC \approx 43.87$.

---

Вопросы для углубления:

1. Как вычислить точное значение, если $BC$ выражено через иррациональный корень?
2. Почему теорема Пифагора применяется только для прямоугольных треугольников?
3. Какую роль играет высота $BN$ в треугольниках $ABN$ и $BCN$?
4. Как изменить задачу, если $AN$ и $NC$ заданы другим соотношением?
5. Как вычислить площадь треугольника $\triangle ABC$ с учётом высоты?

---

Совет: Высота прямоугольного треугольника часто открывает путь к решению через дополнительные свойства подобных треугольников.