Vamos reescrever as equações substituindo \( R = 8\ \Omega \) por \( R = 10\ \Omega \).

### 1. Equação Diferencial Modificada:
A equação diferencial original era:

\[
\frac{di(t)}{dt} + \frac{R}{L}i(t) = \frac{V}{L}
\]

Com \( R = 10\ \Omega \) e \( L = 20\ \text{mH} \):

\[
\frac{di(t)}{dt} + \frac{10}{20 \times 10^{-3}}i(t) = \frac{24}{20 \times 10^{-3}}
\]

Simplificando:

\[
\frac{di(t)}{dt} + 500i(t) = 1200
\]

### 2. Solução Completa de \( i(t) \):
A solução homogênea \( i_c(t) \) continua sendo da forma:

\[
i_c(t) = K e^{-500t}
\]

A solução particular \( i_f(t) \) para a equação modificada é:

\[
i_f(t) = \frac{1200}{500} = 2.4\ \text{A}
\]

A solução completa, portanto, é:

\[
i(t) = 2.4 + K e^{-500t}
\]

Usando a condição inicial \( i(0) = 12A \):

\[
12 = 2.4 + K \Rightarrow K = 9.6
\]

Logo, a expressão para \( i(t) \) com \( R = 10\ \Omega \) é:

\[
i(t) = 2.4 + 9.6e^{-500t} \quad \text{A}
\]

### 3. Tensão no Indutor \( v_L(t) \):
A tensão no indutor é dada por:

\[
v_L(t) = L \frac{di(t)}{dt}
\]

Calculando a derivada de \( i(t) \):

\[
\frac{di(t)}{dt} = -4800 e^{-500t} \quad \text{A/s}
\]

Então:

\[
v_L(t) = 20 \times 10^{-3} \times (-4800 e^{-500t}) = -96 e^{-500t} \quad \text{V}
\]

### 4. Tempo para a Tensão Atingir 24V:
Queremos \( v_L(t) = 24V \):

\[
24 = -96 e^{-500t} \Rightarrow e^{-500t} = -\frac{24}{96} = \frac{1}{4}
\]

Tomando logaritmo natural:

\[
-500t = \ln\left(\frac{1}{4}\right) \Rightarrow t = \frac{\ln(4)}{500} \approx 0,00277 \text{ segundos ou } 2,77 \text{ ms}
\]

### Conclusão
- **\( i(t) = 2.4 + 9.6e^{-500t} \)** A.
- **\( v_L(t) = -96 e^{-500t} \)** V.
- Tensão inicial: -96V.
- Tempo para atingir 24V: aproximadamente 2,77 ms.

Deseja mais alguma modificação ou explicação adicional? 

Aqui estão 8 perguntas para expandir o entendimento:
1. Como a constante de tempo muda ao alterar \( R \) de 8Ω para 10Ω?
2. O que aconteceria se \( R \) fosse ainda maior, como 20Ω?
3. Como a corrente final se altera com \( R = 10\ \Omega \)?
4. Aumentar \( R \) faz com que a corrente atinja o estado estacionário mais rápido ou mais devagar?
5. Como o tempo para atingir 24V compara-se com \( R = 8\ \Omega \)?
6. Como mudar \( L \) impactaria as expressões para \( i(t) \) e \( v_L(t) \)?
7. A tensão inicial no indutor aumenta ou diminui com \( R = 10\ \Omega \)?
8. Como a energia dissipada no resistor se compara entre \( R = 8\ \Omega \) e \( R = 10\ \Omega \)?

**Dica:** A constante de tempo \( \tau = \frac{L}{R} \) é um parâmetro importante que define a rapidez com que as correntes e tensões mudam em um circuito RL.

Learn how to modify the differential equation for an RL circuit when resistance changes from 8Ω to 10Ω. This problem covers differential equations, RL circuit analysis, and exponential functions. Suitable for college-level students and engineers.

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