Vamos reescrever as equações substituindo $R = 8\ \Omega$ por $R = 10\ \Omega$.

1. Equação Diferencial Modificada:

A equação diferencial original era:

$\frac{di(t)}{dt} + \frac{R}{L}i(t) = \frac{V}{L}$

Com $R = 10\ \Omega$ e $L = 20\ \text{mH}$:

$\frac{di(t)}{dt} + \frac{10}{20 \times 10^{-3}}i(t) = \frac{24}{20 \times 10^{-3}}$

Simplificando:

$\frac{di(t)}{dt} + 500i(t) = 1200$

2. Solução Completa de $i(t)$:

A solução homogênea $i_c(t)$ continua sendo da forma:

$i_c(t) = K e^{-500t}$

A solução particular $i_f(t)$ para a equação modificada é:

$i_f(t) = \frac{1200}{500} = 2.4\ \text{A}$

A solução completa, portanto, é:

$i(t) = 2.4 + K e^{-500t}$

Usando a condição inicial $i(0) = 12A$:

$12 = 2.4 + K \Rightarrow K = 9.6$

Logo, a expressão para $i(t)$ com $R = 10\ \Omega$ é:

$i(t) = 2.4 + 9.6e^{-500t} \quad \text{A}$

3. Tensão no Indutor $v_L(t)$:

A tensão no indutor é dada por:

$v_L(t) = L \frac{di(t)}{dt}$

Calculando a derivada de $i(t)$:

$\frac{di(t)}{dt} = -4800 e^{-500t} \quad \text{A/s}$

Então:

$v_L(t) = 20 \times 10^{-3} \times (-4800 e^{-500t}) = -96 e^{-500t} \quad \text{V}$

4. Tempo para a Tensão Atingir 24V:

Queremos $v_L(t) = 24V$:

$24 = -96 e^{-500t} \Rightarrow e^{-500t} = -\frac{24}{96} = \frac{1}{4}$

Tomando logaritmo natural:

$-500t = \ln\left(\frac{1}{4}\right) \Rightarrow t = \frac{\ln(4)}{500} \approx 0,00277 \text{ segundos ou } 2,77 \text{ ms}$

Conclusão

• $i(t) = 2.4 + 9.6e^{-500t}$ A.
• $v_L(t) = -96 e^{-500t}$ V.
• Tensão inicial: -96V.
• Tempo para atingir 24V: aproximadamente 2,77 ms.

Deseja mais alguma modificação ou explicação adicional?

Aqui estão 8 perguntas para expandir o entendimento:

1. Como a constante de tempo muda ao alterar $R$ de 8Ω para 10Ω?
2. O que aconteceria se $R$ fosse ainda maior, como 20Ω?
3. Como a corrente final se altera com $R = 10\ \Omega$?
4. Aumentar $R$ faz com que a corrente atinja o estado estacionário mais rápido ou mais devagar?
5. Como o tempo para atingir 24V compara-se com $R = 8\ \Omega$?
6. Como mudar $L$ impactaria as expressões para $i(t)$ e $v_L(t)$?
7. A tensão inicial no indutor aumenta ou diminui com $R = 10\ \Omega$?
8. Como a energia dissipada no resistor se compara entre $R = 8\ \Omega$ e $R = 10\ \Omega$?

Dica: A constante de tempo $\tau = \frac{L}{R}$ é um parâmetro importante que define a rapidez com que as correntes e tensões mudam em um circuito RL.