Voy a resolver cada uno de los ejercicios que te propuse anteriormente.

Ejercicio 1: Suma de Vectores

Dado los vectores $\mathbf{a} = (3, -2, 5)$ y $\mathbf{b} = (-1, 4, 2)$, el vector suma $\mathbf{a} + \mathbf{b}$ se calcula sumando componente a componente:

$\mathbf{a} + \mathbf{b} = (3 + (-1), -2 + 4, 5 + 2) = (2, 2, 7)$

Respuesta: El vector suma es $\mathbf{a} + \mathbf{b} = (2, 2, 7)$.

Ejercicio 2: Resta de Vectores

Dado los vectores $\mathbf{c} = (7, -3, 1)$ y $\mathbf{d} = (2, 5, -4)$, el vector resta $\mathbf{c} - \mathbf{d}$ se calcula restando componente a componente:

$\mathbf{c} - \mathbf{d} = (7 - 2, -3 - 5, 1 - (-4)) = (5, -8, 5)$

Respuesta: El vector resta es $\mathbf{c} - \mathbf{d} = (5, -8, 5)$.

Ejercicio 3: Producto Escalar

Dado los vectores $\mathbf{e} = (1, -2, 3)$ y $\mathbf{f} = (4, 0, -1)$, el producto escalar $\mathbf{e} \cdot \mathbf{f}$ se calcula multiplicando componente a componente y sumando los resultados:

$\mathbf{e} \cdot \mathbf{f} = (1 \cdot 4) + (-2 \cdot 0) + (3 \cdot -1) = 4 + 0 - 3 = 1$

Respuesta: El producto escalar es $\mathbf{e} \cdot \mathbf{f} = 1$.

Ejercicio 4: Producto Vectorial

Dado los vectores $\mathbf{g} = (2, 1, -3)$ y $\mathbf{h} = (0, 4, 2)$, el producto vectorial $\mathbf{g} \times \mathbf{h}$ se calcula usando la siguiente fórmula:

$\mathbf{g} \times \mathbf{h} = \left( \left(1 \cdot 2\right) - \left(-3 \cdot 4\right), \left(-3 \cdot 0\right) - \left(2 \cdot 2\right), \left(2 \cdot 4\right) - \left(1 \cdot 0\right) \right)$

$\mathbf{g} \times \mathbf{h} = \left(2 + 12, 0 - 4, 8 - 0\right) = (14, -4, 8)$

Respuesta: El producto vectorial es $\mathbf{g} \times \mathbf{h} = (14, -4, 8)$.

Ejercicio 5: Combinación Lineal de Vectores

Dado los vectores $\mathbf{i} = (1, 2, -1)$, $\mathbf{j} = (3, 0, 4)$, y los escalares $k = 2$ y $m = -3$, la combinación lineal $k\mathbf{i} + m\mathbf{j}$ se calcula así:

$k\mathbf{i} = 2(1, 2, -1) = (2, 4, -2)$ $m\mathbf{j} = -3(3, 0, 4) = (-9, 0, -12)$ $k\mathbf{i} + m\mathbf{j} = (2, 4, -2) + (-9, 0, -12) = (2 - 9, 4 + 0, -2 - 12) = (-7, 4, -14)$

Respuesta: El vector combinación lineal es $k\mathbf{i} + m\mathbf{j} = (-7, 4, -14)$.

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Si tienes alguna pregunta o necesitas más detalles sobre algún cálculo, ¡déjame saber!

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Tip

En problemas de vectores, es útil dibujar los vectores y sus operaciones (suma, resta, productos) para entender mejor los resultados y sus implicaciones geométricas.