Voy a resolver cada uno de los ejercicios que te propuse anteriormente.

### Ejercicio 1: Suma de Vectores
Dado los vectores \(\mathbf{a} = (3, -2, 5)\) y \(\mathbf{b} = (-1, 4, 2)\), el vector suma \(\mathbf{a} + \mathbf{b}\) se calcula sumando componente a componente:

\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = (3 + (-1), -2 + 4, 5 + 2) = (2, 2, 7)
\]

**Respuesta:** El vector suma es \(\mathbf{a} + \mathbf{b} = (2, 2, 7)\).

### Ejercicio 2: Resta de Vectores
Dado los vectores \(\mathbf{c} = (7, -3, 1)\) y \(\mathbf{d} = (2, 5, -4)\), el vector resta \(\mathbf{c} - \mathbf{d}\) se calcula restando componente a componente:

\[
\mathbf{c} - \mathbf{d} = (7 - 2, -3 - 5, 1 - (-4)) = (5, -8, 5)
\]

**Respuesta:** El vector resta es \(\mathbf{c} - \mathbf{d} = (5, -8, 5)\).

### Ejercicio 3: Producto Escalar
Dado los vectores \(\mathbf{e} = (1, -2, 3)\) y \(\mathbf{f} = (4, 0, -1)\), el producto escalar \(\mathbf{e} \cdot \mathbf{f}\) se calcula multiplicando componente a componente y sumando los resultados:

\[
\mathbf{e} \cdot \mathbf{f} = (1 \cdot 4) + (-2 \cdot 0) + (3 \cdot -1) = 4 + 0 - 3 = 1
\]

**Respuesta:** El producto escalar es \(\mathbf{e} \cdot \mathbf{f} = 1\).

### Ejercicio 4: Producto Vectorial
Dado los vectores \(\mathbf{g} = (2, 1, -3)\) y \(\mathbf{h} = (0, 4, 2)\), el producto vectorial \(\mathbf{g} \times \mathbf{h}\) se calcula usando la siguiente fórmula:

\[
\mathbf{g} \times \mathbf{h} = \left( \left(1 \cdot 2\right) - \left(-3 \cdot 4\right), \left(-3 \cdot 0\right) - \left(2 \cdot 2\right), \left(2 \cdot 4\right) - \left(1 \cdot 0\right) \right)
\]

\[
\mathbf{g} \times \mathbf{h} = \left(2 + 12, 0 - 4, 8 - 0\right) = (14, -4, 8)
\]

**Respuesta:** El producto vectorial es \(\mathbf{g} \times \mathbf{h} = (14, -4, 8)\).

### Ejercicio 5: Combinación Lineal de Vectores
Dado los vectores \(\mathbf{i} = (1, 2, -1)\), \(\mathbf{j} = (3, 0, 4)\), y los escalares \(k = 2\) y \(m = -3\), la combinación lineal \(k\mathbf{i} + m\mathbf{j}\) se calcula así:

\[
k\mathbf{i} = 2(1, 2, -1) = (2, 4, -2)
\]
\[
m\mathbf{j} = -3(3, 0, 4) = (-9, 0, -12)
\]
\[
k\mathbf{i} + m\mathbf{j} = (2, 4, -2) + (-9, 0, -12) = (2 - 9, 4 + 0, -2 - 12) = (-7, 4, -14)
\]

**Respuesta:** El vector combinación lineal es \(k\mathbf{i} + m\mathbf{j} = (-7, 4, -14)\).

---

Si tienes alguna pregunta o necesitas más detalles sobre algún cálculo, ¡déjame saber!

### Preguntas Relacionadas
1. ¿Qué sucede si los vectores sumados o restados son colineales?
2. ¿Cómo se determina la magnitud de un vector resultante tras una suma o resta?
3. ¿Qué interpretaciones geométricas tienen el producto escalar y el vectorial?
4. ¿Cómo afecta un producto escalar negativo la relación entre dos vectores?
5. ¿Qué condiciones deben cumplirse para que un producto vectorial sea nulo?

### Tip
En problemas de vectores, es útil dibujar los vectores y sus operaciones (suma, resta, productos) para entender mejor los resultados y sus implicaciones geométricas.

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