Для нахождения вычетов функции $f(z) = \frac{1}{z^3(z^2-9)^2}$, необходимо исследовать её особые точки. Рассмотрим последовательность действий:

---

1. Найдём особые точки

Особые точки определяются как корни знаменателя $z^3(z^2-9)^2$, то есть: $z^3(z^2-9)^2 = 0.$

• $z^3 = 0$ даёт $z = 0$.
• $z^2 - 9 = 0$ даёт $z = \pm 3$.

Итак, особые точки: $z = 0$, $z = 3$, $z = -3$.

---

2. Характер особых точек

• Точка $z = 0$:
  Порядок полюса $z = 0$ определяется как сумма порядков $z^3$ в знаменателе, то есть $z = 0$ — полюс порядка 3.

• Точки $z = \pm 3$:
  Порядок полюсов в этих точках определяется множителем $(z^2 - 9)^2$. Так как $(z - 3)^2$ или $(z + 3)^2$ являются квадратами, это полюсы порядка 2.

---

3. Вычислим вычеты

Вычет в $z = 0$:

Для вычисления вычета в полюсе порядка 3 используем формулу: $\text{Res}(f, 0) = \frac{1}{2!} \lim_{z \to 0} \frac{d^2}{dz^2} \left( z^3 f(z) \right).$ Посчитаем: $z^3 f(z) = \frac{1}{(z^2 - 9)^2}.$ Берём вторую производную:

1. Первая производная: $\frac{d}{dz} \left( \frac{1}{(z^2 - 9)^2} \right) = -\frac{4z}{(z^2 - 9)^3}.$
2. Вторая производная: $\frac{d^2}{dz^2} \left( \frac{1}{(z^2 - 9)^2} \right) = \frac{4(3z^2 - 9)}{(z^2 - 9)^4}.$ Теперь подставляем $z = 0$: $\text{Res}(f, 0) = \frac{1}{2!} \cdot \frac{4(-9)}{(-9)^4} = \frac{-36}{2 \cdot 81^2} = -\frac{1}{3645}.$

Вычет в $z = 3$:

В точке $z = 3$ полюс второго порядка. Вычисляем вычет по формуле: $\text{Res}(f, 3) = \lim_{z \to 3} \frac{d}{dz} \left( (z - 3)^2 f(z) \right).$ Посчитаем: $(z - 3)^2 f(z) = \frac{(z - 3)^2}{z^3 (z + 3)^2}.$ Производная: $\frac{d}{dz} \left( \frac{(z - 3)^2}{z^3 (z + 3)^2} \right) = \frac{2(z - 3)}{z^3 (z + 3)^2} - \frac{3(z - 3)^2}{z^4 (z + 3)^2} - \frac{2(z - 3)^2}{z^3 (z + 3)^3}.$ Подставляем $z = 3$: $\text{Res}(f, 3) = \lim_{z \to 3} \left( \frac{2(3 - 3)}{3^3 (3 + 3)^2} - \frac{3(3 - 3)^2}{3^4 (3 + 3)^2} - \frac{2(3 - 3)^2}{3^3 (3 + 3)^3} \right) = 0.$

---

Вычет в $z = -3$:

Аналогично для $z = -3$, получим вычет $\text{Res}(f, -3) = 0$.

---

Ответ:

$\text{Res}(f, 0) = -\frac{1}{3645}, \quad \text{Res}(f, 3) = 0, \quad \text{Res}(f, -3) = 0.$

---

Хочешь подробнее разобрать шаги? 😊

5 дополнительных вопросов:

1. Как определить порядок полюса в общем случае?
2. Какие свойства у вычетов функций в аналитических областях?
3. Почему полюсы порядка 2 имеют нулевые вычеты в данном случае?
4. Как применить теорему вычетов для интегралов?
5. Как оценить вычет без вычисления производных?

Совет: всегда проверяй порядок полюсов, чтобы использовать правильные формулы для вычисления вычетов!