Math Problem Statement

Найти вычет функции f(z)=(z-1)/((z+1)*(z-2i))

Solution

Чтобы найти вычеты функции f(z)=z−1(z+1)(z−2i)f(z) = \frac{z-1}{(z+1)(z-2i)}, нам нужно рассмотреть точки, в которых функция имеет полюса. Это точки z=−1z = -1 и z=2iz = 2i. Поскольку знаменатель имеет линейные множители, полюса являются простыми (первого порядка).

Вычет функции в точке z=az = a для полюса первого порядка можно найти по формуле: Res(f,a)=lim⁡z→a(z−a)f(z).\text{Res}(f, a) = \lim_{z \to a} (z - a) f(z).

Шаг 1: Вычет в z=−1z = -1

Подставим a=−1a = -1: Res(f,−1)=lim⁡z→−1(z+1)⋅z−1(z+1)(z−2i).\text{Res}(f, -1) = \lim_{z \to -1} (z + 1) \cdot \frac{z-1}{(z+1)(z-2i)}. Сокращаем z+1z + 1 в числителе и знаменателе: Res(f,−1)=lim⁡z→−1z−1z−2i.\text{Res}(f, -1) = \lim_{z \to -1} \frac{z - 1}{z - 2i}. Подставим z=−1z = -1: Res(f,−1)=−1−1−1−2i=−2−1−2i.\text{Res}(f, -1) = \frac{-1 - 1}{-1 - 2i} = \frac{-2}{-1 - 2i}. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю (−1+2i)(-1 + 2i), чтобы упростить дробь: −2−1−2i=−2(−1+2i)(−1−2i)(−1+2i)=2−4i1+4=2−4i5.\frac{-2}{-1 - 2i} = \frac{-2(-1 + 2i)}{(-1 - 2i)(-1 + 2i)} = \frac{2 - 4i}{1 + 4} = \frac{2 - 4i}{5}. Итак: Res(f,−1)=25−4i5.\text{Res}(f, -1) = \frac{2}{5} - \frac{4i}{5}.

Шаг 2: Вычет в z=2iz = 2i

Подставим a=2ia = 2i: Res(f,2i)=lim⁡z→2i(z−2i)⋅z−1(z+1)(z−2i).\text{Res}(f, 2i) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \frac{z-1}{(z+1)(z-2i)}. Сокращаем z−2iz - 2i в числителе и знаменателе: Res(f,2i)=lim⁡z→2iz−1z+1.\text{Res}(f, 2i) = \lim_{z \to 2i} \frac{z - 1}{z + 1}. Подставим z=2iz = 2i: Res(f,2i)=2i−12i+1.\text{Res}(f, 2i) = \frac{2i - 1}{2i + 1}. Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое 2i−12i - 1 для упрощения: 2i−12i+1=(2i−1)(2i−1)(2i+1)(2i−1)=(2i)2−2⋅2i⋅1+12(2i)2−12.\frac{2i - 1}{2i + 1} = \frac{(2i - 1)(2i - 1)}{(2i + 1)(2i - 1)} = \frac{(2i)^2 - 2 \cdot 2i \cdot 1 + 1^2}{(2i)^2 - 1^2}. Считаем числитель: (2i)2−4i+1=−4−4i+1=−3−4i.(2i)^2 - 4i + 1 = -4 - 4i + 1 = -3 - 4i. Считаем знаменатель: (2i)2−12=−4−1=−5.(2i)^2 - 1^2 = -4 - 1 = -5. Итак: Res(f,2i)=−3−4i−5=35+4i5.\text{Res}(f, 2i) = \frac{-3 - 4i}{-5} = \frac{3}{5} + \frac{4i}{5}.

Ответ:

  • Вычет в z=−1z = -1: Res(f,−1)=25−4i5\text{Res}(f, -1) = \frac{2}{5} - \frac{4i}{5}.
  • Вычет в z=2iz = 2i: Res(f,2i)=35+4i5\text{Res}(f, 2i) = \frac{3}{5} + \frac{4i}{5}.

Есть ли у вас вопросы или нужно пояснить какой-то шаг?

5 связанных вопросов:

  1. Как вычислить вычеты функции с полюсами высших порядков?
  2. Что означает вычет функции в теории комплексных функций?
  3. Как применить теорему вычетов для вычисления интегралов?
  4. Можно ли найти вычет функции без непосредственного вычисления предела?
  5. Как связаны вычеты и порядок полюса?

Совет:

Чтобы избежать ошибок, проверяйте вычисления знаменателя и числителя отдельно, особенно при упрощении с помощью сопряжённого.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Complex Analysis
Residue Theorem
Poles of a Function

Formulas

Residue formula for simple poles: Res(f, a) = lim(z -> a) (z - a) * f(z)

Theorems

Residue Theorem
Theory of Poles in Complex Functions

Suitable Grade Level

University Level

Related Recommendation

Determining Poles and Evaluating Residues: Example Problem

Residue Calculation for f(z) = (9z + 1) / (z^2(z + 1)) at z = i

Residue Calculation for f(z) = 1 / (z^3(z^2-9)^2)

Calculating Residues of f(z) = (z+2)/(z^3-z^4): Complex Analysis Guide

Residue Calculation of g(z) = 1/(z^2 + 1)^3 at z = i