Pentru a rezolva aceste probleme legate de piramida triunghiulară regulată $VABC$ cu vârful în $V$, vom utiliza notațiile și formulele specifice pentru astfel de piramide. Fiecare problemă face referire la diferite elemente ale piramidei, cum ar fi aria bazei ($A_b$), aria fețelor laterale ($A_1$, $A_2$), perimetrul bazei ($P$), și înălțimea piramidei ($h$).

a) Dacă $l = 4 \, \text{cm}$ și $a_2 = 3\sqrt{3} \, \text{cm}$, aflați $P$, $A_1$, $A_b$ și $A$.

• Perimetrul bazei $P$: Perimetrul unei baze triunghiulare regulate este de 3 ori latura bazei ($l$), deci: $P = 3l = 3 \times 4 = 12 \, \text{cm}$

• Aria bazei $A_b$: Aria bazei triunghiulare regulate se calculează cu formula: $A_b = \frac{\sqrt{3}}{4} \times l^2$ $A_b = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16 = 4\sqrt{3} \, \text{cm}^2$

• Aria feței laterale $A_1$: Aria feței laterale se calculează cu formula: $A_1 = \frac{l \times a_2}{2}$ $A_1 = \frac{4 \times 3\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \, \text{cm}^2$

• Aria totală $A$: Aria totală a piramidei este suma ariei bazei și de 3 ori aria feței laterale: $A = A_b + 3A_1$ $A = 4\sqrt{3} + 3 \times 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3} + 18\sqrt{3} = 22\sqrt{3} \, \text{cm}^2$

b) Dacă $l = 2 \, \text{cm}$ și $a_2 = 5\sqrt{3} \, \text{cm}$, aflați $P$, $A_1$, $A_b$ și $A$.

• Perimetrul bazei $P$: $P = 3l = 3 \times 2 = 6 \, \text{cm}$

• Aria bazei $A_b$: $A_b = \frac{\sqrt{3}}{4} \times l^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = \sqrt{3} \, \text{cm}^2$

• Aria feței laterale $A_1$: