Exercice 7. (formule des probabilités totales)
Un bit informatique traverse une chaine de composants électroniques. Chaque composant de la chaine transforme le bit
avec probabilité p. On note pn la probabilité que le bit ne soit pas transformé entre les composants 1 et n.
1. Etablir une relation de récurrence entre les termes de la suite (pn).
2. En déduire pn en fonction de n.
3. Avec quelle probabilité le bit est-il transformé par une chaine de longueur infinie

Cet exercice se base sur la **formule des probabilités totales** et demande d'établir une relation de récurrence pour une suite \( p_n \), qui représente la probabilité que le bit **ne soit pas transformé** entre les composants 1 et \( n \). Voici les étapes pour aborder ce problème.

### 1. Relation de récurrence pour \( p_n \)

Supposons que chaque composant transforme le bit avec une probabilité \( p \), ce qui signifie que la probabilité qu'un composant **ne transforme pas** le bit est \( 1 - p \).

Si le bit passe par \( n \) composants, la probabilité que le bit ne soit pas transformé après \( n \) composants (ce que l'on note \( p_n \)) dépend de la probabilité qu'il ne soit pas transformé après \( n-1 \) composants (c'est-à-dire \( p_{n-1} \)) et que le \( n \)-ième composant ne le transforme pas non plus.

Ainsi, on a la relation de récurrence :
\[
p_n = p_{n-1} \times (1 - p)
\]
où \( p_{n-1} \) est la probabilité que le bit ne soit pas transformé par les \( n-1 \) premiers composants, et \( (1 - p) \) est la probabilité que le \( n \)-ième composant ne transforme pas le bit.

### 2. Expression de \( p_n \) en fonction de \( n \)

Nous allons résoudre la relation de récurrence pour exprimer \( p_n \) en fonction de \( n \). On part de la relation :
\[
p_n = p_{n-1} \times (1 - p)
\]
Si on applique cette relation plusieurs fois, on obtient :
\[
p_n = p_{n-1} \times (1 - p) = p_{n-2} \times (1 - p)^2 = \dots = p_1 \times (1 - p)^{n-1}
\]

On sait que pour \( n = 1 \), \( p_1 = 1 - p \) (car c’est la probabilité que le bit ne soit pas transformé par le premier composant). Donc, on peut écrire :
\[
p_n = (1 - p)^n
\]

### 3. Probabilité que le bit soit transformé par une chaîne infinie

Maintenant, nous cherchons la probabilité que le bit **soit transformé** par une chaîne de longueur infinie. Pour cela, nous devons calculer la limite de \( p_n \) lorsque \( n \to \infty \).

\[
\lim_{n \to \infty} p_n = \lim_{n \to \infty} (1 - p)^n
\]

Si \( p > 0 \), alors \( 0 < 1 - p < 1 \), ce qui implique que :
\[
\lim_{n \to \infty} (1 - p)^n = 0
\]

Cela signifie que, avec une chaîne infinie de composants, la probabilité que le bit **ne soit pas transformé** tend vers 0. En conséquence, la probabilité que le bit **soit transformé** par une chaîne infinie est :
\[
P(\text{bit transformé}) = 1 - \lim_{n \to \infty} p_n = 1 - 0 = 1
\]

### Conclusion :
1. La relation de récurrence est \( p_n = p_{n-1} \times (1 - p) \).
2. La solution explicite de cette récurrence est \( p_n = (1 - p)^n \).
3. La probabilité que le bit soit transformé par une chaîne infinie de composants est \( 1 \).

---

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions sur une des parties de la solution ? 

Voici quelques questions pour approfondir :
1. Que se passe-t-il si \( p = 0 \) ?
2. Que se passe-t-il si \( p = 1 \) ?
3. Peut-on résoudre ce problème avec une approche de type Markov ?
4. Comment cette récurrence changerait-elle si la probabilité \( p \) variait pour chaque composant ?
5. Peut-on modéliser ce problème en termes d'espérance mathématique pour calculer le nombre moyen de composants avant transformation ?

**Tip :** Les suites récurrentes simples, comme ici, peuvent souvent être résolues en devinant une solution sous forme exponentielle, comme \( (1 - p)^n \).

Exercice 7. (formule des probabilités totales) Un bit informatique traverse une chaine de composants électroniques. Chaque composant de la chaine transforme le bit avec probabilité p. On note pn la probabilité que le bit ne soit pas transformé entre les composants 1 et n. 1. Etablir une relation de récurrence entre les termes de la suite (pn). 2. En déduire pn en fonction de n. 3. Avec quelle probabilité le bit est-il transformé par une chaine de longueur infinie.

This exercise explores the total probability formula through a recurrence relation to model the probability of a bit not being transformed across electronic components. It solves for the probability of transformation in an infinite chain using key concepts in probability theory.

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