Φυσικά! Ας δούμε την ανάλυση της άσκησης 1:

---

Περιγραφή της διαδικασίας ανάκτησης σήματος:

Η ανάκτηση ενός αναλογικού σήματος από τα δείγματά του βασίζεται στο θεώρημα δειγματοληψίας (Sampling Theorem), που διατυπώνεται ως εξής:

"Ένα αναλογικό σήμα μπορεί να ανακτηθεί πλήρως από τα δείγματά του, αν η συχνότητα δειγματοληψίας $f_s$ είναι τουλάχιστον διπλάσια από την υψηλότερη συχνότητα $f_{max}$ του σήματος."

Ας εξετάσουμε τη διαδικασία ανάκτησης στα πεδία:

---

1. Στο Πεδίο της Συχνότητας

Στο πεδίο της συχνότητας, η ανάκτηση περιλαμβάνει τα εξής βήματα:

1. Δειγματοληψία του σήματος:

   • Όταν δειγματοληπτείται ένα σήμα, το φάσμα του $X(f)$ επαναλαμβάνεται περιοδικά με περίοδο ίση με τη συχνότητα δειγματοληψίας $f_s$.
   • Αν η $f_s$ είναι μεγαλύτερη ή ίση από $2f_{max}$ (δηλαδή, τη διπλάσια της μέγιστης συχνότητας του σήματος), τότε τα αντίγραφα του φάσματος δεν επικαλύπτονται (φαινόμενο aliasing δεν συμβαίνει).

2. Χρήση Ιδανικού Χαμηλοπερατού Φίλτρου (LPF):

   • Το ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο έχει εύρος ζώνης $f_{max}$ και αφαιρεί όλα τα αντίγραφα του φάσματος που βρίσκονται εκτός του βασικού εύρους συχνοτήτων.
   • Μετά τη διέλευση από το φίλτρο, απομένει μόνο το αρχικό φάσμα $X(f)$, που αντιστοιχεί στο αναλογικό σήμα.

---

2. Στο Πεδίο του Χρόνου

Στο πεδίο του χρόνου, η διαδικασία έχει τα εξής χαρακτηριστικά:

1. Διακριτοποίηση:

   • Το αρχικό αναλογικό σήμα $x(t)$ δειγματοληπτείται για να παράγει τα δείγματα $x[n] = x(nT)$, όπου $T = 1/f_s$ είναι η περίοδος δειγματοληψίας.

2. Ανασύνθεση με το Συναρτησιακό Φίλτρο (Sinc):

   • Στη διαδικασία ανάκτησης, κάθε δείγμα $x[n]$ κλιμακώνεται και "ανεβαίνει" μέσω μιας συναρτησιακής κυματομορφής $\text{sinc}$, δηλαδή: $x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot \text{sinc}\left(\frac{t - nT}{T}\right)$
   • Η συνάρτηση $\text{sinc}(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$ είναι η ιδανική παλμική απόκριση του χαμηλοπερατού φίλτρου.
   • Αυτή η διαδικασία αναδομεί το αρχικό αναλογικό σήμα.

3. Αποτέλεσμα:

   • Μετά τη σύνθεση, το αναλογικό σήμα $x(t)$ είναι ακριβώς το ίδιο με το αρχικό, χωρίς απώλειες, υπό την προϋπόθεση ότι η συχνότητα δειγματοληψίας είναι επαρκώς υψηλή ($f_s \geq 2f_{max}$).

---

Περίληψη της Διαδικασίας

1. Στο πεδίο της συχνότητας, το ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο εξαλείφει τα περιττά φάσματα και αποκαθιστά το αρχικό φάσμα $X(f)$.
2. Στο πεδίο του χρόνου, η επανασύνθεση γίνεται μέσω της χρήσης συναρτήσεων $\text{sinc}$, που αντιπροσωπεύουν την ιδανική διαδικασία ανακατασκευής.

---

Σημαντική Υποσημείωση

Αν η συχνότητα δειγματοληψίας δεν πληροί το θεώρημα δειγματοληψίας ($f_s < 2f_{max}$), τότε συμβαίνει aliasing:

• Το φάσμα $X(f)$ επικαλύπτεται, και το φίλτρο δεν μπορεί να απομονώσει το αρχικό σήμα.
• Το σήμα δεν μπορεί να ανακτηθεί σωστά.

---

Ρώτησε με αν θέλεις περισσότερες διευκρινίσεις ή αν έχεις απορίες!

---

Ερωτήσεις για Περαιτέρω Ανάλυση:

1. Τι είναι η συνάρτηση sinc και γιατί είναι κρίσιμη για την ανακατασκευή;
2. Πώς μπορεί να εντοπιστεί το φαινόμενο aliasing στην πράξη;
3. Ποιες είναι οι συνέπειες αν το χαμηλοπερατό φίλτρο δεν είναι ιδανικό;
4. Πώς επηρεάζει η συχνότητα δειγματοληψίας την ποιότητα του ανακατασκευασμένου σήματος;
5. Ποιες είναι οι πρακτικές εφαρμογές του θεωρήματος δειγματοληψίας;

---

Συμβουλή:

Για καλύτερη κατανόηση, προσπάθησε να σχεδιάσεις το φάσμα του σήματος πριν και μετά τη δειγματοληψία, ώστε να δεις πώς λειτουργεί η ανάκτηση οπτικά.