برای بررسی اینکه آیا مجموعه $V$ با عملگرهای $\oplus$ و $\odot$ یک فضای برداری تشکیل می‌دهد یا خیر، باید بررسی کنیم که آیا این مجموعه و عملگرها شرایط تعریف یک فضای برداری را ارضا می‌کنند یا نه. شرایط فضای برداری شامل مواردی مانند بسته بودن نسبت به جمع و ضرب اسکالر، وجود بردار صفر، و سایر اصول است.

الف) بررسی در حالت کلی که $V$ مجموعه اعداد حقیقی باشد:

در این حالت، $V = \mathbb{R}$ (مجموعه اعداد حقیقی) است و عملگرها به صورت زیر تعریف شده‌اند:

• $x \oplus y = xy$ که معادل ضرب معمولی اعداد است.
• $c \odot x = x^c$ که معادل توان‌گیری است.

برای بررسی اینکه این مجموعه با این عملگرها یک فضای برداری تشکیل می‌دهد یا نه، باید خواص فضای برداری را چک کنیم:

1. بسته بودن تحت جمع: عملگر $\oplus$ در اینجا به عنوان ضرب معمولی تعریف شده است. در فضای برداری، عمل جمع (یا در اینجا $\oplus$) باید نسبت به بردارها بسته باشد. یعنی $x \oplus y$ باید همیشه عضوی از $V$ باشد. این خاصیت به طور کلی در مورد اعداد حقیقی صدق می‌کند، زیرا ضرب دو عدد حقیقی یک عدد حقیقی دیگر است.

2. وجود عضو خنثی برای جمع: برای فضای برداری، باید عنصری مانند $0_V$ وجود داشته باشد که برای هر $x \in V$، رابطه $x \oplus 0_V = x$ برقرار باشد. در اینجا، $x \oplus y = xy$ است و اگر به دنبال عنصری باشیم که $x \oplus 0_V = x$ را ارضا کند، به $x \cdot 0_V = x$ می‌رسیم. این تنها زمانی ممکن است که $0_V = 1$ باشد، زیرا ضرب هر عددی در 1 همان عدد را می‌دهد. پس در اینجا عنصر خنثی برای جمع برابر با 1 است، نه 0، که این با تعریف فضای برداری استاندارد سازگار نیست.

3. بسته بودن تحت ضرب اسکالر: عمل $c \odot x = x^c$ است. باید بررسی کنیم که آیا این عمل بسته است یا نه. به طور کلی، اگر $x \in \mathbb{R}$ باشد، توان $x^c$ نیز یک عدد حقیقی است، بنابراین این خاصیت برقرار است.

4. عضو خنثی برای ضرب اسکالر: در فضای برداری، باید $1 \odot x = x$ برقرار باشد. در اینجا $1 \odot x = x^1 = x$ است، بنابراین این خاصیت برقرار است.

5. خواص دیگر (مانند توزیع‌پذیری ضرب اسکالر نسبت به جمع و...): باید بررسی کنیم که آیا سایر خواص فضای برداری برقرارند یا خیر. به عنوان مثال، توزیع‌پذیری ضرب اسکالر نسبت به جمع: $c \odot (x \oplus y) = c \odot (xy) = (xy)^c = x^c y^c$ ولی از طرف دیگر: $(c \odot x) \oplus (c \odot y) = x^c \oplus y^c = x^c y^c$ بنابراین این خاصیت نیز برقرار است.

   نتیجه‌گیری برای بخش (الف): در اینجا $V$ یک فضای برداری تشکیل نمی‌دهد، زیرا عنصر خنثی برای جمع برابر 1 است و نه 0، که با تعریف استاندارد فضای برداری تناقض دارد.

ب) اگر $V$ مجموعه اعداد حقیقی نامنفی ($\mathbb{R}_{\geq 0}$) باشد:

در این حالت، تنها تفاوت این است که $V$ محدود به اعداد حقیقی نامنفی است. سایر خواص همچنان پابرجا هستند، و همچنان مشکل عضو خنثی برای جمع پابرجاست. پس نتیجه‌گیری مشابه بخش (الف) است: این مجموعه با این عملگرها فضای برداری تشکیل نمی‌دهد.

ج) اگر $V$ مجموعه اعداد حقیقی مثبت ($\mathbb{R}_{> 0}$) باشد:

در این حالت، $V$ شامل اعداد حقیقی مثبت است. اما همچنان مشکلات مشابهی داریم. عضو خنثی برای جمع برابر 1 است و نه 0، که با فضای برداری استاندارد تناقض دارد. بنابراین حتی در این حالت نیز مجموعه $V$ با این عملگرها یک فضای برداری تشکیل نمی‌دهد.

---

پرسش‌های مرتبط:

1. چگونه می‌توان عنصر خنثی جمع در یک فضای برداری را به طور دقیق تعریف کرد؟
2. آیا می‌توان با تغییر عملگرها، شرایط فضای برداری را در این مسائل برآورده کرد؟
3. آیا خاصیت توزیع‌پذیری همیشه در فضای برداری لازم است؟
4. چرا وجود عضو صفر در فضای برداری ضروری است؟
5. آیا می‌توان به جای تعریف استاندارد فضای برداری، تعاریف دیگری برای فضای برداری در نظر گرفت؟

نکته: در فضای برداری، وجود عضو صفر (یا خنثی برای جمع) و خواص آن نقشی کلیدی در ساختار و تعریف این فضاها دارند.