حوض سباحة على شكل نصف كرة طول نصف قطرها 2 مملوء بماء اذا بدء الماء يتسرب منه بحيث يتناقص ارتفاع الماء قيها بمعدل 1/4 جد معدل تغير مساحة سطحالماء في الحوض بعد ساعة واحدة من بدء التسريب

لدينا حوض سباحة على شكل نصف كرة نصف قطرها \( r = 2 \) متر، وهو مملوء بالماء. إذا بدأ الماء بالتسرب بحيث يتناقص ارتفاع الماء فيه بمعدل \( \frac{1}{4} \) متر في الساعة، نحتاج إلى إيجاد معدل تغير مساحة سطح الماء بعد ساعة واحدة من بدء التسريب.

### 1. معادلة سطح الماء
الحوض على شكل نصف كرة، وعندما يكون الماء في الحوض، يشكل سطح الماء قبة دائرية في الأعلى. لنتصور أن ارتفاع الماء في أي وقت معين هو \( h \).

مساحة سطح الماء في أي لحظة تمثل مساحة الدائرة التي تكون نصف قطرها \( r_w \) (نصف قطر سطح الماء).

وفقًا لعلاقة الارتفاع \( h \) بنصف قطر سطح الماء \( r_w \)، يمكننا أن نستنتج:

\[
r_w = \sqrt{r^2 - (r - h)^2}
\]

حيث \( r \) هو نصف قطر الحوض و \( h \) هو ارتفاع الماء في الحوض.

مساحة سطح الماء \( A \) تعطى بالعلاقة:

\[
A = \pi r_w^2
\]

### 2. اشتقاق مساحة سطح الماء بالنسبة للزمن
نريد إيجاد معدل تغير مساحة سطح الماء بالنسبة للزمن \( \frac{dA}{dt} \). باستخدام قاعدة السلسلة:

\[
\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr_w} \cdot \frac{dr_w}{dh} \cdot \frac{dh}{dt}
\]

حيث \( \frac{dh}{dt} = -\frac{1}{4} \) متر في الساعة (بما أن الارتفاع ينقص).

### 3. حساب المشتقات
من العلاقة \( A = \pi r_w^2 \):

\[
\frac{dA}{dr_w} = 2\pi r_w
\]

أما بالنسبة للمشتقة \( \frac{dr_w}{dh} \)، فنحسبها من العلاقة بين \( r_w \) و \( h \):

\[
r_w = \sqrt{r^2 - (r - h)^2}
\]

باشتقاق هذه المعادلة بالنسبة لـ \( h \):

\[
\frac{dr_w}{dh} = \frac{(r - h)}{r_w}
\]

### 4. الحساب عند \( h = 1.75 \) متر
بعد مرور ساعة واحدة، سيكون الارتفاع \( h = 2 - \frac{1}{4} = 1.75 \) متر.

الآن نحسب \( r_w \) عند \( h = 1.75 \):

\[
r_w = \sqrt{2^2 - (2 - 1.75)^2} = \sqrt{4 - 0.25^2} = \sqrt{4 - 0.0625} = \sqrt{3.9375} \approx 1.98 \text{ متر}
\]

الآن نحسب المشتقات:

\[
\frac{dA}{dr_w} = 2\pi \times 1.98 \approx 12.44 \text{ متر مربع لكل متر}
\]

\[
\frac{dr_w}{dh} = \frac{2 - 1.75}{1.98} = \frac{0.25}{1.98} \approx 0.126 \text{ متر لكل متر}
\]

### 5. حساب معدل تغير المساحة
أخيرًا، نحسب \( \frac{dA}{dt} \):

\[
\frac{dA}{dt} = 12.44 \times 0.126 \times (-\frac{1}{4}) \approx -0.393 \text{ متر مربع لكل ساعة}
\]

إذن، معدل تغير مساحة سطح الماء بعد ساعة واحدة من بدء التسريب هو حوالي \( -0.393 \) متر مربع لكل ساعة.

هل تحتاج لتوضيح أكثر أو لديك أسئلة؟

### 5 أسئلة متعلقة:
1. كيف يتم حساب معدل التغير في حجم الماء في الحوض؟
2. كيف يمكننا تعديل الحوض إذا كان شكله غير نصف كروي؟
3. ما تأثير معدل التسريب إذا كان ثابتًا أو متغيرًا؟
4. كيف يتغير سطح الماء لو تغير شكل الحوض إلى مخروط؟
5. كيف يمكن تطبيق هذه الحسابات على خزان ماء أسطواني الشكل؟

### نصيحة:
استخدام قاعدة السلسلة هو أداة قوية لتحليل معدلات التغير، خصوصًا في المشكلات التي تتضمن عدة متغيرات مرتبطة.

Find the rate of change in the surface area of water in a hemispherical tank with a radius of 2 meters as water leaks at a rate of 1/4 meter per hour. This problem involves concepts from geometry and calculus, including the chain rule and surface area calculations. Suitable for high school calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation