Dada la función $f(x) = kx^2 - 2k x + 10$, queremos encontrar los valores de $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la imagen de la función (Im(f)) sea $(-\infty, 2]$.

Paso 1: Identificar la naturaleza de la función

La función dada es una parábola de la forma general $f(x) = ax^2 + bx + c$, donde $a = k$, $b = -2k$ y $c = 10$.

Paso 2: Determinar la forma de la parábola

• Si $k > 0$, la parábola abre hacia arriba.
• Si $k < 0$, la parábola abre hacia abajo.

Para que la imagen de la función sea $(-\infty, 2]$, la parábola debe abrir hacia abajo, lo que implica que $k < 0$.

Paso 3: Calcular el vértice de la parábola

El vértice de la parábola se encuentra en el punto $x_v = \frac{-b}{2a}$.

Sustituyendo los valores de $a$ y $b$: $x_v = \frac{-(-2k)}{2k} = \frac{2k}{2k} = 1$

Paso 4: Evaluar la función en el vértice

El valor máximo de la función, dado que la parábola abre hacia abajo, se encuentra en $x = 1$. Evaluamos $f(x)$ en $x = 1$:

$f(1) = k(1)^2 - 2k(1) + 10 = k - 2k + 10 = -k + 10$

Queremos que este valor máximo sea igual a 2, ya que la imagen de la función es $(-\infty, 2]$.

$-k + 10 = 2$

Paso 5: Resolver la ecuación

Resolvemos para $k$:

$-k = 2 - 10$ $-k = -8$ $k = 8$

Paso 6: Conclusión

Para que la imagen de $f(x)$ sea $(-\infty, 2]$, el valor de $k$ debe ser 8, y dado que la parábola debe abrir hacia abajo para que la imagen sea $(-\infty, 2]$, no existe un valor de $k$ que cumpla ambas condiciones (ser negativo y cumplir la ecuación del vértice), por lo tanto:

No existe ningún $k \in \mathbb{R}$ para el cual la imagen de $f(x)$ sea exactamente $(-\infty, 2]$.

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Preguntas relacionadas:

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4. ¿Cómo determinar la concavidad de una parábola en términos de $k$?
5. ¿Qué papel juega el término independiente (10) en la imagen de $f(x)$?

Tip: Recuerda que la concavidad de una parábola depende directamente del signo del coeficiente de $x^2$.