Sea f(x) = kx2 − 2k
2x + 10. Hallar todos los k ∈ R para los cuales Im(f) = (−∞, 2]

Dada la función \( f(x) = kx^2 - 2k x + 10 \), queremos encontrar los valores de \( k \in \mathbb{R} \) para los cuales la imagen de la función (Im(f)) sea \( (-\infty, 2] \).

### Paso 1: Identificar la naturaleza de la función
La función dada es una parábola de la forma general \( f(x) = ax^2 + bx + c \), donde \( a = k \), \( b = -2k \) y \( c = 10 \).

### Paso 2: Determinar la forma de la parábola
- Si \( k > 0 \), la parábola abre hacia arriba.
- Si \( k < 0 \), la parábola abre hacia abajo.

Para que la imagen de la función sea \( (-\infty, 2] \), la parábola debe abrir hacia abajo, lo que implica que \( k < 0 \).

### Paso 3: Calcular el vértice de la parábola
El vértice de la parábola se encuentra en el punto \( x_v = \frac{-b}{2a} \).

Sustituyendo los valores de \( a \) y \( b \):
\[
x_v = \frac{-(-2k)}{2k} = \frac{2k}{2k} = 1
\]

### Paso 4: Evaluar la función en el vértice
El valor máximo de la función, dado que la parábola abre hacia abajo, se encuentra en \( x = 1 \). Evaluamos \( f(x) \) en \( x = 1 \):

\[
f(1) = k(1)^2 - 2k(1) + 10 = k - 2k + 10 = -k + 10
\]

Queremos que este valor máximo sea igual a 2, ya que la imagen de la función es \( (-\infty, 2] \).

\[
-k + 10 = 2
\]

### Paso 5: Resolver la ecuación
Resolvemos para \( k \):

\[
-k = 2 - 10
\]
\[
-k = -8
\]
\[
k = 8
\]

### Paso 6: Conclusión
Para que la imagen de \( f(x) \) sea \( (-\infty, 2] \), el valor de \( k \) debe ser 8, y dado que la parábola debe abrir hacia abajo para que la imagen sea \( (-\infty, 2] \), no existe un valor de \( k \) que cumpla ambas condiciones (ser negativo y cumplir la ecuación del vértice), por lo tanto:

**No existe ningún \( k \in \mathbb{R} \) para el cual la imagen de \( f(x) \) sea exactamente \( (-\infty, 2] \).**

### ¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el signo de \( k \) a la concavidad de la parábola?
2. ¿Qué sucede con la imagen de \( f(x) \) si \( k > 8 \)?
3. ¿Cómo se calcula el dominio de una función cuadrática?
4. ¿Cómo determinar la concavidad de una parábola en términos de \( k \)?
5. ¿Qué papel juega el término independiente (10) en la imagen de \( f(x) \)?

**Tip:** Recuerda que la concavidad de una parábola depende directamente del signo del coeficiente de \( x^2 \).

Sea f(x) = kx^2 − 2kx + 10. Hallar todos los k ∈ R para los cuales Im(f) = (−∞, 2]

Explore how to determine the values of k ∈ R for which the range of the quadratic function f(x) = kx^2 − 2kx + 10 is (−∞, 2]. This problem covers concepts in algebra, including quadratic functions and the use of the vertex theorem. Suitable for students in Grades 10-12.

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