Math Problem Statement

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник с площадью 18*sqrt3.

Solution

Для нахождения радиуса rr окружности, вписанной в правильный шестиугольник, воспользуемся формулой площади правильного шестиугольника:

S=332a2,S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2,

где aa — длина стороны шестиугольника. В данном случае площадь S=183S = 18\sqrt{3}. Подставим это в формулу:

183=332a2.18\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2.

Упростим уравнение:

18=32a2.18 = \frac{3}{2} a^2.

Умножим обе стороны на 2:

36=3a2.36 = 3a^2.

Разделим на 3:

a2=12.a^2 = 12.

Извлечем корень:

a=23.a = 2\sqrt{3}.

Вписанная окружность правильного шестиугольника имеет радиус, равный высоте одного из его равносторонних треугольников, делённой на 2. Формула радиуса вписанной окружности:

r=32a.r = \frac{\sqrt{3}}{2} a.

Подставим значение a=23a = 2\sqrt{3}:

r=3223.r = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{3}.

Выполним вычисления:

r=232=3.r = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3.

Ответ: радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен r=3r = 3.


Хотите подробнее разобрать решение или задать дополнительные вопросы? Вот несколько вопросов для размышления:

  1. Что такое вписанная окружность в многогранник?
  2. Как связаны площадь правильного шестиугольника и длина его стороны?
  3. Почему радиус вписанной окружности равен высоте равностороннего треугольника, делённой на 2?
  4. Какие ещё формулы связаны с радиусами окружностей шестиугольника?
  5. Могут ли вписанная и описанная окружности иметь одинаковый радиус?

Совет: При решении задач с геометрическими фигурами полезно зарисовать их, чтобы лучше понимать взаимосвязь параметров.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Geometry
Regular Hexagons
Inscribed Circles

Formulas

Area of a regular hexagon: S = (3√3 / 2) * a^2
Radius of the inscribed circle: r = (√3 / 2) * a

Theorems

Properties of Regular Polygons
Relation between area and side length in a hexagon

Suitable Grade Level

Grades 9-11