(1) 四元数のベクトル部の基底 $i, j, k$ は互いに直交しています。四元数のベクトル部は、通常の三次元空間のベクトルのように扱うことができ、これらの基底要素は直交し、かつ単位長を持ちます（すなわち、正規直交基底）。これを示す根拠は、四元数の積における性質 $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$ および非可換性の関係（たとえば、$ij = k, jk = i, ki = j$）にあります。これらの基底間の直交性は、この代数構造が定義する幾何学的性質に基づいています。

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(2) 仮に四元数のような非可換性が存在せず、代わりに可換代数を考えた場合、基底 $i, j, k$ の性質は大きく変化します。この場合、与えられた条件

$i^2 = j^2 = k^2 = 1, \quad ij = ji = k, \quad jk = kj = i, \quad ki = ik = j$

に基づいて基底の直交性を検討します。ここで、直交性を確認するには、これらの基底が互いにスカラー積がゼロとなる条件を満たす必要があります。しかし、この可換代数の下では、$i, j, k$ が満たす代数的関係は四元数とは異なり、直交性を保証する構造とはなりません。結果として、これらの基底 $i, j, k$ は直交していないと考えられます。

結論として、可換代数の仮定のもとでは、基底 $i, j, k$ は直交するとは限らないと言えます。

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ご不明な点や詳細が必要ですか？以下の関連質問を参考にしてください：

1. 四元数の直交性はどのように証明できますか？
2. 可換代数の基底における幾何学的な性質はどうなるのですか？
3. 非可換性が基底の性質に与える影響は何ですか？
4. 四元数のベクトル部の幾何学的解釈について詳しく知りたいですか？
5. スカラー積を用いてベクトルの直交性を検証する方法を教えてください。

Tip: ベクトルの直交性はスカラー積（内積）が 0 であることに基づいているので、基底の性質を調べる際にはスカラー積を計算してみると便利です。