Para resolver la ecuación \( 6x^4 + 11x^2 + 4 = 0 \), se puede realizar un cambio de variable para simplificarla. Vamos a sustituir \( y = x^2 \), de modo que \( x^4 = y^2 \). Así, la ecuación queda:

\[
6y^2 + 11y + 4 = 0
\]

Este es un polinomio cuadrático en \( y \). Ahora, resolvamos la ecuación usando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

donde \( a = 6 \), \( b = 11 \) y \( c = 4 \). Sustituyendo estos valores en la fórmula:

\[
y = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4(6)(4)}}{2(6)}
\]
\[
y = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 96}}{12}
\]
\[
y = \frac{-11 \pm \sqrt{25}}{12}
\]
\[
y = \frac{-11 \pm 5}{12}
\]

Ahora, tenemos dos posibles soluciones para \( y \):

1. \( y_1 = \frac{-11 + 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} \)
2. \( y_2 = \frac{-11 - 5}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3} \)

Como \( y = x^2 \), y \( x^2 \) debe ser mayor o igual a cero, no hay soluciones reales para \( x \) en este caso, ya que ambas soluciones de \( y \) son negativas.

Por lo tanto, no existen soluciones reales para la ecuación \( 6x^4 + 11x^2 + 4 = 0 \).

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**Tip:** Cuando el discriminante es negativo, las soluciones de una ecuación cuadrática son números complejos.

Learn how to solve the quartic equation 6x^4 + 11x^2 + 4 = 0 by using the substitution method and applying the quadratic equation formula. This detailed step-by-step guide also explains the role of the discriminant and how it affects the nature of the roots. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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