Pour déterminer la forme fondamentale d'une fonction quadratique $f(x)$, il faut utiliser les informations données. La forme générale d'une fonction quadratique est :

$f(x) = a(x - h)^2 + k$

où $(h, k)$ est le sommet de la parabole, et $a$ est un coefficient à déterminer. Comme on sait que la parabole a pour axe de symétrie $x = -1$, cela signifie que $h = -1$. Ainsi, la fonction prend la forme :

$f(x) = a(x + 1)^2 + k$

Étape 1 : Utilisation des points $A(1, 0)$ et $B(-2, 3)$

Nous avons deux points par lesquels la parabole passe : $A(1, 0)$ et $B(-2, 3)$. En remplaçant les coordonnées de ces points dans l'équation de la fonction, nous allons obtenir un système d'équations pour déterminer $a$ et $k$.

1. Pour $A(1, 0)$ :

$f(1) = a(1 + 1)^2 + k = 0$ $4a + k = 0 \quad \text{(1)}$

2. Pour $B(-2, 3)$ :

$f(-2) = a(-2 + 1)^2 + k = 3$ $a(1)^2 + k = 3$ $a + k = 3 \quad \text{(2)}$

Étape 2 : Résolution du système d'équations

Nous avons maintenant le système suivant :

$4a + k = 0 \quad \text{(1)}$ $a + k = 3 \quad \text{(2)}$

Résolvons ce système.

• De la première équation $4a + k = 0$, on obtient $k = -4a$.
• Substituons cette valeur de $k$ dans la deuxième équation :

$a - 4a = 3$ $-3a = 3$ $a = -1$

• Maintenant, remplaçons $a = -1$ dans $k = -4a$ :

$k = -4(-1) = 4$

Étape 3 : Forme finale

En remplaçant $a = -1$ et $k = 4$ dans l'équation de la fonction, on obtient la forme quadratique de la fonction :

$f(x) = -(x + 1)^2 + 4$

Conclusion

La forme fondamentale de la fonction quadratique est donc :

$f(x) = -(x + 1)^2 + 4$

Cela correspond à une parabole concave (car $a = -1$) ayant pour sommet le point $(-1, 4)$ et pour axe de symétrie la droite $x = -1$.

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Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions pour approfondir :

1. Comment utiliser le sommet d'une parabole pour déterminer sa forme ?
2. Pourquoi l'axe de symétrie de la parabole détermine la valeur de $h$ ?
3. Comment savoir si la parabole est concave ou convexe en fonction du signe de $a$ ?
4. Comment utiliser un autre point pour vérifier que la fonction quadratique est correcte ?
5. Comment résoudre un système d'équations linéaires avec substitution ?

Tip : Si une parabole a un axe de symétrie donné, le sommet est toujours sur cet axe, ce qui simplifie le calcul de la forme quadratique.