Comment déterminer la forme fondamentale de f, une fonction quadratique dont le graphe est une parabole ayant la droite x=-1 comme axe de symétrie et passant par les points A(1;0) et B(-2;3)?

Pour déterminer la forme fondamentale d'une fonction quadratique \( f(x) \), il faut utiliser les informations données. La forme générale d'une fonction quadratique est :

\[
f(x) = a(x - h)^2 + k
\]

où \( (h, k) \) est le sommet de la parabole, et \( a \) est un coefficient à déterminer. Comme on sait que la parabole a pour axe de symétrie \( x = -1 \), cela signifie que \( h = -1 \). Ainsi, la fonction prend la forme :

\[
f(x) = a(x + 1)^2 + k
\]

### Étape 1 : Utilisation des points \( A(1, 0) \) et \( B(-2, 3) \)

Nous avons deux points par lesquels la parabole passe : \( A(1, 0) \) et \( B(-2, 3) \). En remplaçant les coordonnées de ces points dans l'équation de la fonction, nous allons obtenir un système d'équations pour déterminer \( a \) et \( k \).

1. **Pour \( A(1, 0) \) :**

\[
f(1) = a(1 + 1)^2 + k = 0
\]
\[
4a + k = 0 \quad \text{(1)}
\]

2. **Pour \( B(-2, 3) \) :**

\[
f(-2) = a(-2 + 1)^2 + k = 3
\]
\[
a(1)^2 + k = 3
\]
\[
a + k = 3 \quad \text{(2)}
\]

### Étape 2 : Résolution du système d'équations

Nous avons maintenant le système suivant :

\[
4a + k = 0 \quad \text{(1)}
\]
\[
a + k = 3 \quad \text{(2)}
\]

Résolvons ce système.

- De la première équation \( 4a + k = 0 \), on obtient \( k = -4a \).
- Substituons cette valeur de \( k \) dans la deuxième équation :

\[
a - 4a = 3
\]
\[
-3a = 3
\]
\[
a = -1
\]

- Maintenant, remplaçons \( a = -1 \) dans \( k = -4a \) :

\[
k = -4(-1) = 4
\]

### Étape 3 : Forme finale

En remplaçant \( a = -1 \) et \( k = 4 \) dans l'équation de la fonction, on obtient la forme quadratique de la fonction :

\[
f(x) = -(x + 1)^2 + 4
\]

### Conclusion

La forme fondamentale de la fonction quadratique est donc :

\[
f(x) = -(x + 1)^2 + 4
\]

Cela correspond à une parabole concave (car \( a = -1 \)) ayant pour sommet le point \( (-1, 4) \) et pour axe de symétrie la droite \( x = -1 \).

---

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions pour approfondir :
1. Comment utiliser le sommet d'une parabole pour déterminer sa forme ?
2. Pourquoi l'axe de symétrie de la parabole détermine la valeur de \( h \) ?
3. Comment savoir si la parabole est concave ou convexe en fonction du signe de \( a \) ?
4. Comment utiliser un autre point pour vérifier que la fonction quadratique est correcte ?
5. Comment résoudre un système d'équations linéaires avec substitution ?

**Tip** : Si une parabole a un axe de symétrie donné, le sommet est toujours sur cet axe, ce qui simplifie le calcul de la forme quadratique.

Learn how to find the fundamental form of a quadratic function with axis of symmetry x = -1. This problem involves using points A(1, 0) and B(-2, 3) to solve for the quadratic function and covers key concepts such as symmetry, parabolas, and solving systems of linear equations. Suitable for Grades 9-12 students.

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