Para resolver este ejercicio, desglosaremos cada uno de los apartados utilizando conceptos de dinámica y conservación de energía. Veamos cada paso:

1. Datos del problema:
   • Masa del bloque 1 ($m_1$) = 30 kg.
   • Masa del bloque 2 ($m_2$) = 20 kg.
   • Masa de la polea ($M$) = 5 kg.
   • Diámetro de la polea = 20 cm → Radio ($R$) = 0.1 m.
   • Momento de inercia de la polea ($I$) = $\frac{1}{2} M R^2$.
   • Distancia del bloque de 30 kg al suelo = 2 m.

a) Velocidad del bloque de 30 kg justo antes de tocar el suelo

Usaremos la conservación de la energía mecánica. Al liberar el sistema, el bloque de 30 kg cae, convirtiendo la energía potencial en energía cinética de los bloques y energía rotacional de la polea.

1. Energía inicial (E_inicial): Solo hay energía potencial gravitatoria en el bloque de 30 kg: $E_{\text{inicial}} = m_1 g h = 30 \cdot 9.8 \cdot 2 = 588 \, \text{J}$

2. Energía final (E_final): Al caer, la energía se distribuye en la energía cinética de traslación de ambos bloques y la energía cinética rotacional de la polea. $E_{\text{final}} = \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{2} m_2 v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$ Donde $v$ es la velocidad lineal de los bloques y $\omega$ es la velocidad angular de la polea.

   Como la cuerda no desliza, $v = \omega R$. Entonces, $\omega = \frac{v}{R}$.

   Sustituyendo $I = \frac{1}{2} M R^2$: $E_{\text{final}} = \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{2} m_2 v^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} M R^2 \left(\frac{v}{R}\right)^2$ Simplificando: $E_{\text{final}} = \frac{1}{2} m_1 v^2 + \frac{1}{2} m_2 v^2 + \frac{1}{4} M v^2$

   Igualamos $E_{\text{inicial}}$ con $E_{\text{final}}$: $588 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v^2 + \frac{1}{4} M v^2$ $588 = \left(\frac{1}{2} (30 + 20) + \frac{1}{4} \cdot 5\right) v^2$ Resolviendo para $v$ nos da la velocidad del bloque de 30 kg justo antes de tocar el suelo.

b) Velocidad angular de la polea en ese instante

Una vez que conocemos $v$, calculamos $\omega$ con la relación $\omega = \frac{v}{R}$.

c) Las tensiones de la cuerda

Para encontrar las tensiones, analizamos las fuerzas en cada bloque y aplicamos la segunda ley de Newton:

Para el bloque de 30 kg: $m_1 g - T_1 = m_1 a$

Para el bloque de 20 kg: $T_2 - m_2 g = m_2 a$

Y en la polea, sumando los torques: $(T_1 - T_2) R = I \alpha$ donde $\alpha = \frac{a}{R}$.

Estas ecuaciones permiten resolver $T_1$ y $T_2$ en función de $a$, que se puede hallar mediante las ecuaciones de energía o dinámica.

d) El tiempo que tarda el bloque de 30 kg en tocar el suelo

Usamos la relación cinemática: $h = \frac{1}{2} a t^2$ donde $h = 2$ m y $a$ es la aceleración hallada anteriormente. Resolviendo para $t$ obtendremos el tiempo.

¿Te gustaría que desarrolle los cálculos numéricos para obtener las respuestas exactas?

Preguntas relacionadas para profundizar:

1. ¿Cómo se aplican las leyes de conservación de energía en sistemas con movimiento rotacional?
2. ¿Cuál es la importancia del momento de inercia en el análisis de poleas y discos?
3. ¿Cómo se relaciona la velocidad angular de una polea con la velocidad lineal en sistemas sin deslizamiento?
4. ¿Qué métodos se pueden utilizar para resolver tensiones en un sistema de polea con masas desiguales?
5. ¿Cómo se calcula el tiempo de caída en movimientos acelerados con aceleración constante?

Tip: En problemas de poleas, considerar tanto la energía cinética traslacional como la rotacional es esencial para obtener resultados precisos.