Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό Χ υπάρχει ένας μόνο αντίθετος του

Για να αποδείξουμε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό \( x \) υπάρχει ένας και μόνο ένας αντίθετος του, θα ακολουθήσουμε τα παρακάτω βήματα:

### Ορισμός του Αντίθετου Αριθμού:
Ο αντίθετος ενός πραγματικού αριθμού \( x \) είναι ένας αριθμός \( y \) που πληροί την εξίσωση:
\[
x + y = 0
\]

### Απόδειξη της Ύπαρξης:
Για να δείξουμε ότι υπάρχει τέτοιος αριθμός, θέτουμε \( y = -x \). Τότε:
\[
x + (-x) = 0
\]
Άρα, \( y = -x \) είναι ένας αντίθετος αριθμός του \( x \), και συνεπώς ο αντίθετος αριθμός \( y \) υπάρχει.

### Απόδειξη της Μοναδικότητας:
Έστω ότι υπάρχουν δύο αριθμοί \( y_1 \) και \( y_2 \) που είναι αντίθετοι του \( x \). Τότε:
\[
x + y_1 = 0 \quad \text{και} \quad x + y_2 = 0
\]
Αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη:
\[
(x + y_1) - (x + y_2) = 0 - 0
\]
Αυτό απλοποιείται σε:
\[
y_1 - y_2 = 0
\]
Άρα \( y_1 = y_2 \), δηλαδή οι δύο αντίθετοι αριθμοί είναι ίσοι.

### Συμπέρασμα:
Αποδείξαμε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό \( x \), υπάρχει ένας και μόνο ένας αντίθετος αριθμός του, που είναι \( -x \).

Έχετε κάποια απορία ή χρειάζεστε περισσότερες λεπτομέρειες;

### Σχετικές Ερωτήσεις:
1. Πώς ορίζεται ο αντίθετος αριθμός για μη πραγματικούς αριθμούς;
2. Ποια είναι η σημασία της μοναδικότητας του αντίθετου αριθμού στην άλγεβρα;
3. Πώς σχετίζεται ο αντίθετος αριθμός με την απόλυτη τιμή ενός αριθμού;
4. Ποια είναι η εφαρμογή του αντίθετου αριθμού στη λύση εξισώσεων;
5. Τι σημαίνει γεωμετρικά ο αντίθετος αριθμός σε έναν αριθμητικό άξονα;

### Συμβουλή:
Όταν εργάζεστε με πραγματικούς αριθμούς, πάντα να θυμάστε ότι οι πράξεις έχουν συγκεκριμένες ιδιότητες, όπως η ύπαρξη του αντίθετου, που σας βοηθούν να λύνει εξισώσεις και προβλήματα πιο εύκολα.

Explore the proof that for every real number, there is one and only one opposite. This solution demonstrates the existence and uniqueness of opposites in algebra with a step-by-step breakdown. Ideal for high school students in Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation