Đề bài:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB = AC$. Gọi $d$ là một đường thẳng bất kỳ đi qua $A$ và cắt $BC$ tại $M$. Kẻ $BH$ vuông góc với $d$ tại $H$ và $CK$ vuông góc với $d$ tại $K$. Chứng minh rằng tam giác $BHA$ vuông góc với tam giác $AKC$.

Giải quyết:

1. Tính chất của tam giác vuông tại $A$:

   • Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB = AC$, tức là $\triangle ABC$ là tam giác vuông cân.
   • Do đó, $\angle ABC = \angle ACB = 45^\circ$.

2. Định nghĩa các điểm vuông góc:

   • $BH$ vuông góc với $d$, tức là $BH \perp d$.
   • $CK$ vuông góc với $d$, tức là $CK \perp d$.
   • Các điểm $H$ và $K$ là hình chiếu của $B$ và $C$ lên đường thẳng $d$.

3. Đoạn $BH$ và $CK$ vuông góc với $d$:

   • Vì $BH \perp d$ và $CK \perp d$, ta có thể xét các tam giác vuông $BHA$ và $AKC$.

4. Công thức đồng dạng tam giác:

   • Ta sẽ chứng minh rằng tam giác $BHA$ và tam giác $AKC$ đồng dạng bằng cách xét các yếu tố tương đồng.

   • Góc vuông tại $A$:

     • Cả hai tam giác $BHA$ và $AKC$ đều có góc vuông tại $A$ (vì $\angle BHA = 90^\circ$ và $\angle AKC = 90^\circ$).

   • Góc chung:

     • Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, do đó, góc $\angle ABH$ và $\angle ACK$ bằng nhau (cùng bằng $45^\circ$).

   • Cạnh chung:

     • Cả hai tam giác $BHA$ và $AKC$ đều có cạnh chung $AH$ và $AK$.

5. Kết luận:

   • Do có một góc vuông chung tại $A$, góc chung tại $B$ và $C$ đều bằng nhau (45°), và cạnh chung $AH$ và $AK$, ta có thể kết luận rằng tam giác $BHA$ và tam giác $AKC$ đồng dạng.
   • Như vậy, $\triangle BHA \sim \triangle AKC$.

Vậy, ta đã chứng minh rằng tam giác $BHA$ đồng dạng với tam giác $AKC$.

---

Nếu bạn muốn tôi giải thích chi tiết hơn về các bước trên, hay có câu hỏi nào thêm, hãy cho tôi biết!

Các câu hỏi mở rộng:

1. Chứng minh rằng tam giác vuông cân có các đặc điểm gì đặc biệt?
2. Tại sao việc xác định các góc vuông trong hình học rất quan trọng?
3. Các bước cụ thể để chứng minh sự đồng dạng giữa hai tam giác là gì?
4. Hãy thử áp dụng bài toán này với các loại tam giác khác (tam giác vuông không đều).
5. Khi hai tam giác đồng dạng, các cạnh tương ứng của chúng có tỷ lệ như thế nào?

Mẹo nhỏ: Trong việc chứng minh các tam giác đồng dạng, bạn có thể sử dụng tiêu chí góc-góc-góc (AA), tức là nếu hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau, thì chúng là đồng dạng.