Math Problem Statement
Liczby rzeczywiste a, b, c, x, y, z spełniają równości a 2 + 2bc = x 2 + 2yz, b 2 + 2ca = y 2 + 2zx, c 2 + 2ab = z 2 + 2xy. Wykazać, że a 2 + b 2 + c 2 = x 2 + y 2 + z 2 .
Solution
Aby wykazać, że , zaczniemy od założeń zawartych w układzie równań:
a^2 + 2bc = x^2 + 2yz, \\ b^2 + 2ca = y^2 + 2zx, \\ c^2 + 2ab = z^2 + 2xy. \end{cases}$$ Naszym celem jest pokazanie, że $$a^2 + b^2 + c^2 = x^2 + y^2 + z^2$$. Aby to wykazać, zsumujemy stronami wszystkie trzy równości. Zatem: $$a^2 + 2bc + b^2 + 2ca + c^2 + 2ab = x^2 + 2yz + y^2 + 2zx + z^2 + 2xy.$$ Grupując odpowiednie wyrazy po lewej i prawej stronie, otrzymujemy: $$a^2 + b^2 + c^2 + 2(bc + ca + ab) = x^2 + y^2 + z^2 + 2(yz + zx + xy).$$ Widać, że mamy po obu stronach wyrażenie $$2(bc + ca + ab)$$, które jest równe $$2(yz + zx + xy)$$ (zgodnie z założeniami układu). W rezultacie możemy uprościć równanie: $$a^2 + b^2 + c^2 = x^2 + y^2 + z^2.$$ Oznacza to, że udało się wykazać tezę, że: $$a^2 + b^2 + c^2 = x^2 + y^2 + z^2.$$ Czy chciałbyś zobaczyć bardziej szczegółowe kroki dowodu lub masz dodatkowe pytania? --- 1. Jakie inne metody mogłyby być użyte do dowodu równości między sumami kwadratów? 2. Czy można udowodnić tożsamość, korzystając z innego układu zmiennych? 3. Jakie są interpretacje geometryczne tej równości? 4. Czy istnieje podobna tożsamość dla większej liczby zmiennych? 5. W jaki sposób założenia wpływają na wynik dowodu? **Porada:** Podczas pracy z układami równań, sumowanie równań stronami często prowadzi do użytecznych uproszczeń.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Algebra
Systems of Equations
Quadratic Equations
Formulas
a^2 + 2bc = x^2 + 2yz
b^2 + 2ca = y^2 + 2zx
c^2 + 2ab = z^2 + 2xy
Theorems
Sum of squares
Symmetry in equations
Suitable Grade Level
Grades 10-12
Related Recommendation
Proof of Identity Involving Quadratic Equations: (1/(a+1)) + (1/(b+1)) + (1/(c+1)) = 1
Prove the Identity a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 from Symmetric Equations
Proving a^2 + b^2 = ab Implies a = b = 0 for Real Numbers
Prove a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0 implies a = b = c
Proof of Symmetric Sum Identity: a^2/bc + b^2/ca + c^2/ab = 3