Задача №19 содержит несколько выражений, которые необходимо доказать с использованием логики предикатов. Рассмотрим некоторые из них пошагово:

a) $A \cap (A \cup B) = A$

Доказательство:

1. Левую часть $A \cap (A \cup B)$ можно прочитать как "пересечение множества $A$ с объединением $A$ и $B$".
2. Поскольку $A$ всегда содержится в $A \cup B$, пересечение $A$ с $A \cup B$ даст само множество $A$.

Таким образом, $A \cap (A \cup B) = A$.

b) $A \cup \overline{A} \cap B = A \cup B$

Доказательство:

1. $A \cup \overline{A} \cap B$ означает "объединение $A$ с пересечением дополнения $A$ и $B$".
2. Мы знаем, что $A \cup \overline{A} = U$ (универсальное множество).
3. Следовательно, $U \cap B = B$.
4. Таким образом, $A \cup B$ остается как результат.

Итак, $A \cup \overline{A} \cap B = A \cup B$.

c) $A \cap \overline{A \cup B} = A \cap \overline{B}$

Доказательство:

1. Воспользуемся законом де Моргана для преобразования дополнения: $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$.
2. Левую часть $A \cap \overline{A \cup B}$ можно записать как $A \cap (\overline{A} \cap \overline{B})$.
3. Однако $A \cap \overline{A} = \emptyset$, следовательно, остается только $A \cap \overline{B}$.

Таким образом, $A \cap \overline{A \cup B} = A \cap \overline{B}$.

d) $A \setminus (A \setminus B) = A \cap B$

Доказательство:

1. Выражение $A \setminus B$ эквивалентно $A \cap \overline{B}$.
2. Тогда $A \setminus (A \setminus B) = A \setminus (A \cap \overline{B})$.
3. Это можно переписать как пересечение $A$ с дополнением $A \cap \overline{B}$, что даст $A \cap B$.

Таким образом, $A \setminus (A \setminus B) = A \cap B$.

Если тебе нужно разобрать другие пункты, напиши об этом!

Вопросы для закрепления:

1. Как применяются законы де Моргана для преобразования объединений и пересечений?
2. Каков результат пересечения множества с его дополнением?
3. Что означает операция разности множеств $A \setminus B$?
4. Какие правила используются для доказательства выражений с симметрической разностью?
5. Почему объединение множества с универсальным множеством всегда равно универсальному множеству?

Совет: При доказательствах выражений с множествами всегда полезно начинать с применения базовых законов, таких как законы де Моргана, ассоциативность и дистрибутивность.