Để chứng minh bài toán này, chúng ta có thể sử dụng Định lý Giá trị Trung bình (Mean Value Theorem, MVT) và lý luận về các giá trị đạo hàm.

Giải thích chi tiết:

1. Áp dụng Định lý Giá trị Trung bình (MVT): Vì $f$ khả vi trên đoạn $[0, 1]$, nên theo Định lý Giá trị Trung bình, với mỗi khoảng con bất kỳ $[x_1, x_2] \subset [0, 1]$, tồn tại một điểm $c \in (x_1, x_2)$ sao cho: $f'(c) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}.$

2. Lập luận cho hai khoảng $[0, 0.5]$ và $[0.5, 1]$:

   • Áp dụng MVT cho $f$ trên khoảng $[0, 0.5]$, ta có tồn tại $a \in (0, 0.5)$ sao cho: $f'(a) = \frac{f(0.5) - f(0)}{0.5 - 0} = 2f(0.5).$
   • Tương tự, áp dụng MVT trên khoảng $[0.5, 1]$, ta có tồn tại $b \in (0.5, 1)$ sao cho: $f'(b) = \frac{f(1) - f(0.5)}{1 - 0.5} = 2(1 - f(0.5)).$

3. Kết quả và đối chứng $f'(a) \cdot f'(b) = 1$:

   • Nhân hai kết quả trên: $f'(a) \cdot f'(b) = \left(2f(0.5)\right) \cdot \left(2(1 - f(0.5))\right) = 4f(0.5)(1 - f(0.5)).$
   • Để thỏa mãn $f'(a) \cdot f'(b) = 1$, cần có $4f(0.5)(1 - f(0.5)) = 1$.
   • Phương trình này có nghiệm duy nhất tại $f(0.5) = \frac{1}{2}$, vậy $f'(a) \cdot f'(b) = 1$.

Như vậy, đã chứng minh rằng tồn tại các điểm $a \in (0, 0.5)$ và $b \in (0.5, 1)$ sao cho $f'(a) \cdot f'(b) = 1$.

---

Bạn có muốn thêm chi tiết hoặc có câu hỏi nào không?

Câu hỏi mở rộng:

1. Định lý Giá trị Trung bình là gì và ứng dụng của nó trong giải tích?
2. Có điều kiện nào khác cho hàm số $f$ để bài toán này có nghiệm không?
3. Các tính chất nào của đạo hàm giúp chúng ta giải bài toán này?
4. Nếu thay đổi điều kiện $f(0) = 0$ hoặc $f(1) = 1$, bài toán có còn đúng không?
5. Định lý Trung bình mở rộng có thể áp dụng được trong trường hợp nào?

Mẹo: Khi giải các bài toán yêu cầu chứng minh sự tồn tại của điểm nào đó, hãy xem xét sử dụng các định lý trung bình hoặc định lý Bolzano để tìm ra các giá trị này.