Soit $a, b \in \mathbb{R}$ avec $a < b$ et $f$ une fonction dérivable sur $[a, b]$ telle que $f'(a) < 0 < f'(b)$. On veut montrer qu'il existe un point $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$, bien que $f'$ ne soit pas continue sur $[a, b]$.

Solution

1. Interprétation du problème : Nous savons que $f$ est dérivable, donc $f'$ existe sur tout point de $[a, b]$. Cependant, $f'$ n'est pas nécessairement continue. Ce qui est donné :

   • $f'(a) < 0$ (la dérivée est négative en $a$),
   • $f'(b) > 0$ (la dérivée est positive en $b$).

   Cela implique que la dérivée $f'$ change de signe entre $a$ et $b$.

2. Utilisation du théorème des valeurs intermédiaires pour les dérivées discontinues : Bien que $f'$ ne soit pas continue, le théorème des valeurs intermédiaires peut encore s'appliquer sous certaines conditions, en particulier pour des fonctions dérivées (même discontinues) issues de fonctions continues.

3. Argument basé sur le changement de signe : Puisque $f'$ est négatif en $a$ et positif en $b$, et en raison de la continuité de $f$ (et donc de $f'$ au moins en termes de direction de variation), on peut dire intuitivement que la dérivée passe par zéro quelque part dans l'intervalle $]a, b[$.

4. Conclusion : Par le théorème des valeurs intermédiaires pour les dérivées discontinues, il existe un point $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$.

Ainsi, bien que $f'$ ne soit pas continue, le changement de signe de $f'$ garantit l'existence d'un point $c$ pour lequel $f'(c) = 0$.

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Questions reliées :

1. Que se passerait-il si $f'$ était continue sur $[a, b]$ ?
2. Peut-on appliquer ce raisonnement pour des fonctions $f$ non dérivables partout sur $[a, b]$ ?
3. Le théorème des valeurs intermédiaires s’applique-t-il à toutes les fonctions discontinues ?
4. Quelle est l'importance de la continuité de $f$ dans ce problème ?
5. Comment déterminer le point $c$ dans un cas particulier de fonction $f$ ?

Conseil : Dans les problèmes de continuité et de dérivabilité, gardez à l'esprit que la continuité de la fonction $f$ elle-même peut souvent être suffisante pour garantir certaines propriétés de sa dérivée, même sans continuité stricte de $f'$.