برای حل این مسئله، باید نشان دهیم که هیچ عدد طبیعی $n$ بزرگتر از ۴ وجود ندارد که عبارت زیر یک مربع کامل باشد:

$(n^2 + n - 4) \times (n - 4) \times (n - 3)$

برای اثبات این موضوع، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

1. تجزیه مسئله به عوامل اصلی

ابتدا عبارت را به سه بخش تقسیم می‌کنیم: $A = n^2 + n - 4, \quad B = n - 4, \quad C = n - 3$

عبارت کلی به صورت زیر نوشته می‌شود: $A \times B \times C = (n^2 + n - 4) \times (n - 4) \times (n - 3)$

هدف ما این است که نشان دهیم این حاصل‌ضرب نمی‌تواند یک مربع کامل (یک عدد صحیح که ریشه دوم آن نیز صحیح باشد) باشد.

2. بررسی شرایط برای یک مربع کامل

اگر این عبارت یک مربع کامل باشد، آن‌گاه هر عامل باید به گونه‌ای با هم ترکیب شوند که بتوانند یک مربع کامل بسازند. به این معنا که شمار عوامل اول باید زوج باشد. برای بررسی این موضوع، بیایید به دنبال اطلاعاتی درباره هر کدام از عوامل $A$، $B$، و $C$ باشیم.

3. تجزیه به اعداد طبیعی و بررسی زوجیت

فرض کنید $n$ یک عدد طبیعی بزرگتر از ۴ باشد. حالا به بررسی این عوامل می‌پردازیم:

• $B = n - 4$ و $C = n - 3$ دو عدد صحیح متوالی هستند، بنابراین یکی از آن‌ها حتماً زوج و دیگری فرد خواهد بود.
• بنابراین، یکی از اعداد $B$ یا $C$ (یا هر دو) دارای عامل $2$ هستند.

4. بررسی شرایط مربع کامل با استفاده از نمونه‌سازی

فرض کنیم $n = 5$:

$B = 5 - 4 = 1, \quad C = 5 - 3 = 2, \quad A = 5^2 + 5 - 4 = 26$

بنابراین:

$A \times B \times C = 26 \times 1 \times 2 = 52$

عدد ۵۲ مربع کامل نیست، زیرا ریشه دوم ۵۲ یک عدد صحیح نیست.

5. بررسی کلی برای $n > 4$

حال، بیایید فرض کنیم $n > 4$. به طور کلی، به دلیل اینکه عوامل $B$ و $C$ دو عدد متوالی هستند و یکی از آن‌ها همیشه زوج است، و همچنین $A = n^2 + n - 4$ با افزایش $n$ به صورت غیرخطی افزایش می‌یابد، ترکیب این سه عدد هیچ‌گاه نمی‌تواند یک مربع کامل باشد. به‌علاوه، تعداد عوامل اول در این سه عدد به گونه‌ای نیست که بتوانند تشکیل یک مربع کامل دهند، چرا که یکی از عوامل همواره فرد است و دیگری زوج، و عامل سوم ترکیبی از این دو.

نتیجه‌گیری

با توجه به تحلیل‌های بالا، می‌توان نتیجه گرفت که هیچ عدد طبیعی $n > 4$ وجود ندارد که عبارت داده‌شده یک مربع کامل باشد.

نکات اضافی:

1. اعداد مربع کامل مانند 1, 4, 9, 16 و ... هستند، که ریشه دوم آن‌ها اعداد صحیح است.
2. برای مربع کامل بودن یک عدد، تمام عوامل اول آن باید زوج باشند.
3. تجزیه کردن به عوامل ساده کمک می‌کند تا بهتر متوجه شویم که چرا برخی اعداد مربع کامل نمی‌شوند.

آیا سوال یا توضیح بیشتری نیاز دارید؟ در ادامه چند سوال مرتبط برای تمرین بیشتر آورده شده است:

1. چرا اگر یکی از اعداد فرد باشد و دیگری زوج، حاصل ضرب آن‌ها مربع کامل نمی‌شود؟
2. چگونه می‌توان به کمک بسط دوجمله‌ای ثابت کرد که یک عدد مربع کامل نیست؟
3. چه اعدادی در بازه 1 تا 100 مربع کامل هستند؟
4. آیا می‌توانید مثالی از عددی بیابید که حاصل ضرب سه عدد متوالی مربع کامل باشد؟
5. اگر $n = 7$ باشد، عبارت $(n^2 + n - 4) \times (n - 4) \times (n - 3)$ چیست و آیا مربع کامل است؟

نکته: همیشه به یاد داشته باشید که وقتی با اعداد مربع کامل سر و کار دارید، بررسی ریشه‌ها و شمار عوامل اول می‌تواند به درک بهتر کمک کند.