Pour démontrer que, pour tout $t \in \left[ \frac{1}{2}, 1 \right[$, $0 < \frac{t - 1}{t \ln(t)} < \frac{1}{t},$ nous allons procéder en deux étapes : d'abord, nous montrerons que $\frac{t - 1}{t \ln(t)} > 0$, puis nous prouverons que $\frac{t - 1}{t \ln(t)} < \frac{1}{t}$.

Étape 1 : Montrer que $\frac{t - 1}{t \ln(t)} > 0$

Pour $t \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right)$, on observe les points suivants :

1. $t - 1 < 0$ car $t < 1$.
2. $\ln(t) < 0$ car $t < 1$.

Le produit $t \ln(t)$ est donc négatif pour $t \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right)$. Comme $t - 1 < 0$ et $\ln(t) < 0$, on a bien $\frac{t - 1}{t \ln(t)} > 0.$

Étape 2 : Montrer que $\frac{t - 1}{t \ln(t)} < \frac{1}{t}$

Pour montrer cette inégalité, nous allons étudier l'inégalité suivante : $\frac{t - 1}{t \ln(t)} < \frac{1}{t}.$ Celle-ci est équivalente à : $t - 1 < \ln(t).$ Nous savons que pour $t \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right)$, $\ln(t) < 0$ et est décroissant, donc $\ln(t)$ est plus petit que $t - 1$. Par exemple,