L'inégalité que vous avez donnée à résoudre est :

$x^2 - \frac{x^4}{2} \leq \ln(1 + x^2) \leq x^2$

L'objectif est de prouver que cette inégalité est vraie pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Analyse étape par étape :

1. Étude de la borne supérieure : $\ln(1 + x^2) \leq x^2$ Pour cette partie, nous devons prouver que la fonction $f(x) = \ln(1 + x^2) - x^2$ est inférieure ou égale à zéro pour tout $x$.