Pour démontrer que $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$, nous allons utiliser l'inégalité arithmético-géométrique (AM-GM) qui affirme que, pour deux nombres positifs $x$ et $y$, nous avons :

$\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}$

Étapes de la démonstration :

1. Posons $x = \frac{a}{b}$ et $y = \frac{b}{a}$. Nous voulons démontrer que $x + y > 2$.

2. Remarquons que :

$x \cdot y = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$

3. En appliquant l'inégalité arithmético-géométrique à $x$ et $y$, nous avons :

$\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}$

Comme $x \cdot y = 1$, cela devient :

$\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{1} = 1$

4. Multiplions les deux côtés de l'inégalité par 2 :

$x + y \geq 2$

5. Égalité ? Il y a égalité dans l'inégalité arithmético-géométrique seulement lorsque $x = y$, c'est-à-dire lorsque $\frac{a}{b} = \frac{b}{a}$, ce qui implique $a = b$.

6. Par conséquent, si $a \neq b$, l'inégalité stricte $x + y > 2$ est vérifiée.

Ainsi, nous avons montré que $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ avec égalité seulement si $a = b$. Donc, pour $a \neq b$, nous avons bien $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$.

Avez-vous des questions ou besoin de détails supplémentaires ?

Voici 5 questions liées à cette démonstration :

1. Comment prouve-t-on l'inégalité arithmético-géométrique en général ?
2. Que se passe-t-il si $a = b$ dans cette inégalité ?
3. Quels autres types d'inégalités sont dérivés de l'AM-GM ?
4. Peut-on utiliser une méthode alternative pour prouver cette inégalité ?
5. Comment cette inégalité est-elle utilisée dans d'autres domaines mathématiques ?

Tip : Utilisez souvent l'inégalité AM-GM pour établir des bornes inférieures ou supérieures lorsque des rapports sont impliqués !