不等式 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べるには、基本的な不等式である**相加平均と相乗平均の不等式（AM-GM不等式）**を使います。

1. 証明

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$

この式に AM-GM 不等式を適用します。AM-GM不等式とは、任意の非負数 $x$ と $y$ に対して、

$\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}$

という不等式です。この場合、$x = \frac{b}{a}$ と $y = \frac{a}{b}$ として適用できます。

$\frac{\frac{b}{a} + \frac{a}{b}}{2} \geq \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}}$

右辺の積を計算すると、

$\sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}} = \sqrt{1} = 1$

したがって、

$\frac{\frac{b}{a} + \frac{a}{b}}{2} \geq 1$

両辺に2を掛けると、

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$

となり、不等式が証明されました。

2. 等号が成り立つ場合

AM-GM不等式において、等号が成り立つのは、2つの数 $x$ と $y$ が等しい場合です。すなわち、

$\frac{b}{a} = \frac{a}{b}$

この条件を満たすためには、以下の式が成立する必要があります。

$\frac{b}{a} = 1 \quad \text{すなわち} \quad b = a$

したがって、等号が成り立つのは、$a = b$ の場合です。

まとめ

• 不等式 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ は AM-GM 不等式を用いて証明できます。
• 等号が成り立つのは $a = b$ の場合です。

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ご質問や詳細を知りたい場合は教えてください。また、次の関連する5つの質問を考えてみました。

1. AM-GM不等式の他の例を示してください。
2. なぜAM-GM不等式が成り立つのか、証明してください。
3. 3つ以上の項に対するAM-GM不等式はどのように適用されますか？
4. 他の不等式（例えばホルダー不等式）を使った証明もできますか？
5. 等号が成り立たない場合の具体例をいくつか示してください。

Tip: 不等式の証明では、等号が成り立つ条件を確認することで、より深い理解が得られます。