b/a+a/b≧2が成り立つことの証明、等号が成り立つ場合を調べる

不等式 \(\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2\) を証明し、等号が成り立つ場合を調べるには、基本的な不等式である**相加平均と相乗平均の不等式（AM-GM不等式）**を使います。

### 1. 証明

\[
\frac{b}{a} + \frac{a}{b}
\]

この式に AM-GM 不等式を適用します。AM-GM不等式とは、任意の非負数 \( x \) と \( y \) に対して、

\[
\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}
\]

という不等式です。この場合、\( x = \frac{b}{a} \) と \( y = \frac{a}{b} \) として適用できます。

\[
\frac{\frac{b}{a} + \frac{a}{b}}{2} \geq \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}}
\]

右辺の積を計算すると、

\[
\sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}} = \sqrt{1} = 1
\]

したがって、

\[
\frac{\frac{b}{a} + \frac{a}{b}}{2} \geq 1
\]

両辺に2を掛けると、

\[
\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2
\]

となり、不等式が証明されました。

### 2. 等号が成り立つ場合

AM-GM不等式において、等号が成り立つのは、2つの数 \( x \) と \( y \) が等しい場合です。すなわち、

\[
\frac{b}{a} = \frac{a}{b}
\]

この条件を満たすためには、以下の式が成立する必要があります。

\[
\frac{b}{a} = 1 \quad \text{すなわち} \quad b = a
\]

したがって、等号が成り立つのは、**\( a = b \)** の場合です。

### まとめ
- 不等式 \(\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2\) は AM-GM 不等式を用いて証明できます。
- 等号が成り立つのは \( a = b \) の場合です。

---

ご質問や詳細を知りたい場合は教えてください。また、次の関連する5つの質問を考えてみました。

1. AM-GM不等式の他の例を示してください。
2. なぜAM-GM不等式が成り立つのか、証明してください。
3. 3つ以上の項に対するAM-GM不等式はどのように適用されますか？
4. 他の不等式（例えばホルダー不等式）を使った証明もできますか？
5. 等号が成り立たない場合の具体例をいくつか示してください。

**Tip:** 不等式の証明では、等号が成り立つ条件を確認することで、より深い理解が得られます。

Explore the proof and conditions where the inequality b/a + a/b ≥ 2 holds true, along with when the equality condition applies. This mathematical problem involves the application of the Arithmetic Mean-Geometric Mean (AM-GM) inequality, suitable for advanced high school students and beyond.

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