Чтобы доказать, что вектор $\mathbf{p} = c(\mathbf{b} \mathbf{a}) - \mathbf{a} \mathbf{b}$ перпендикулярен вектору $\mathbf{b}$, нам нужно показать, что скалярное произведение этих двух векторов равно нулю.

Формулировка задачи:

Дано два вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, и выражение для вектора $\mathbf{p}$ в виде:

$\mathbf{p} = c(\mathbf{b} \mathbf{a}) - \mathbf{a} \mathbf{b}$

Необходимо доказать, что $\mathbf{p} \perp \mathbf{b}$, то есть, что их скалярное произведение равно нулю:

$\mathbf{p} \cdot \mathbf{b} = 0$

Доказательство:

1. Раскроем выражение для вектора $\mathbf{p}$:

$\mathbf{p} = c(\mathbf{b} \mathbf{a}) - \mathbf{a} \mathbf{b}$

2. Теперь вычислим скалярное произведение $\mathbf{p} \cdot \mathbf{b}$:

$\mathbf{p} \cdot \mathbf{b} = \left( c(\mathbf{b} \mathbf{a}) - \mathbf{a} \mathbf{b} \right) \cdot \mathbf{b}$

Используем линейность скалярного произведения и распределяем его:

$\mathbf{p} \cdot \mathbf{b} = c (\mathbf{b} \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} - (\mathbf{a} \mathbf{b}) \cdot \mathbf{b}$

3. Рассмотрим каждый член отдельно:

• Первый член: $c (\mathbf{b} \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b}$

Заметим, что $(\mathbf{b} \mathbf{a})$ — это скаляр, произведенный на вектор $\mathbf{b}$. Скалярное произведение вектора на себя $\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}$ всегда дает положительное значение, но во втором случае произведение $(\mathbf{b} \mathbf{a})$ является константой, умноженной на вектор $\mathbf{b}$.