Чтобы доказать тождество:

$\frac{1 - \sin(2\alpha)}{\sin(\alpha) - \cos(\alpha)} + \cos(\alpha) = \sin(\alpha)$

начнём с упрощения левой части.

Шаг 1: Преобразуем выражение с $\sin(2\alpha)$

Сначала используем формулу двойного угла для синуса:

$\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{1 - \sin(2\alpha)}{\sin(\alpha) - \cos(\alpha)} + \cos(\alpha) = \frac{1 - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin(\alpha) - \cos(\alpha)} + \cos(\alpha)$

Шаг 2: Разделим числитель

Теперь у нас числитель $1 - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. Попробуем упростить дробь.

Рассмотрим дробь:

$\frac{1 - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin(\alpha) - \cos(\alpha)}$

Попробуем разделить числитель и знаменатель:

$1 - 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = (\sin(\alpha) - \cos(\alpha)) \cdot (1 + \sin(\alpha) + \cos(\alpha))$

Тогда дробь примет вид:

$\frac{(\sin(\alpha) - \cos(\alpha)) \cdot (1 + \sin(\alpha) + \cos(\alpha))}{\sin(\alpha) - \cos(\alpha)} = 1 + \sin(\alpha) + \cos(\alpha)$

Шаг 3: Завершающий шаг

Теперь у нас есть выражение:

$1 + \sin(\alpha) + \cos(\alpha) + \cos(\alpha)$

Соберём похожие слагаемые:

$1 + \sin(\alpha) + 2\cos(\alpha)$

Оставшееся выражение должно быть равно $\sin(\alpha)$. Однако видим, что это не совсем совпадает с правой частью, как было ожидаемо. Необходимо провести тщательный пересмотр для более глубокого анализа.

Хотите, чтобы я рассмотрел другие подходы для ответа?