 Soit n ∈ N*.Démontrer que si (n² − 1) n’est pas divisible par 8, alors n est pair.

Pour démontrer que si \( n^2 - 1 \) n’est pas divisible par 8, alors \( n \) est pair, nous procéderons par contraposée.

### Contraposée :
Nous allons démontrer l’énoncé suivant :
**Si \( n \) est impair, alors \( n^2 - 1 \) est divisible par 8.**

#### Démonstration :

1. Supposons que \( n \) soit impair. Cela signifie que \( n \) peut s’écrire sous la forme \( n = 2k + 1 \), où \( k \) est un entier.

2. Calculons \( n^2 \) :
   \[
   n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2 + k) + 1
   \]
   Donc, \( n^2 \equiv 1 \mod 4 \).

3. Calculons maintenant \( n^2 - 1 \) :
   \[
   n^2 - 1 = 4(k^2 + k)
   \]
   Ce qui signifie que \( n^2 - 1 \) est divisible par 4.

4. Observons maintenant la divisibilité par 8. Puisque \( n^2 - 1 = 4(k^2 + k) \), nous devons vérifier la divisibilité de \( k^2 + k \) par 2 :
   \[
   k^2 + k = k(k + 1)
   \]
   Le produit de deux entiers consécutifs, \( k(k+1) \), est toujours divisible par 2, donc \( k^2 + k \) est divisible par 2.

5. Ainsi, \( n^2 - 1 = 4(k^2 + k) \) est divisible par \( 8 \).

### Conclusion :
Nous avons montré que si \( n \) est impair, alors \( n^2 - 1 \) est divisible par 8. La contraposée de cet énoncé implique que si \( n^2 - 1 \) n’est pas divisible par 8, alors \( n \) est pair.

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Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici quelques questions pour approfondir :
1. Quelle est l'importance de travailler par contraposée dans cette démonstration ?
2. Comment l'argument sur les entiers consécutifs renforce-t-il la démonstration ?
3. Comment cette preuve pourrait-elle être modifiée si l'on considère d'autres modulos, comme \( 3 \) ou \( 5 \) ?
4. Peut-on appliquer une démonstration similaire pour d'autres formes quadratiques comme \( n^2 + 1 \) ?
5. Quelle est la signification de cette divisibilité dans un contexte plus général de la théorie des nombres ?

**Tip** : La méthode par contraposée est très utile lorsque la démonstration directe semble complexe ou peu intuitive.

Soit n ∈ N*. Démontrer que si (n² − 1) n’est pas divisible par 8, alors n est pair.

Explore how to prove that n must be even if n² - 1 is not divisible by 8, using a contrapositive proof. This demonstration covers key number theory concepts, divisibility rules, and algebraic manipulation. Suitable for students in Grades 10-12.

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