Pour démontrer que si $n^2 - 1$ n’est pas divisible par 8, alors $n$ est pair, nous procéderons par contraposée.

Contraposée :

Nous allons démontrer l’énoncé suivant : Si $n$ est impair, alors $n^2 - 1$ est divisible par 8.

Démonstration :

1. Supposons que $n$ soit impair. Cela signifie que $n$ peut s’écrire sous la forme $n = 2k + 1$, où $k$ est un entier.

2. Calculons $n^2$ : $n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2 + k) + 1$ Donc, $n^2 \equiv 1 \mod 4$.

3. Calculons maintenant $n^2 - 1$ : $n^2 - 1 = 4(k^2 + k)$ Ce qui signifie que $n^2 - 1$ est divisible par 4.

4. Observons maintenant la divisibilité par 8. Puisque $n^2 - 1 = 4(k^2 + k)$, nous devons vérifier la divisibilité de $k^2 + k$ par 2 : $k^2 + k = k(k + 1)$ Le produit de deux entiers consécutifs, $k(k+1)$, est toujours divisible par 2, donc $k^2 + k$ est divisible par 2.

5. Ainsi, $n^2 - 1 = 4(k^2 + k)$ est divisible par $8$.

Conclusion :

Nous avons montré que si $n$ est impair, alors $n^2 - 1$ est divisible par 8. La contraposée de cet énoncé implique que si $n^2 - 1$ n’est pas divisible par 8, alors $n$ est pair.

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Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions ?

Voici quelques questions pour approfondir :

1. Quelle est l'importance de travailler par contraposée dans cette démonstration ?
2. Comment l'argument sur les entiers consécutifs renforce-t-il la démonstration ?
3. Comment cette preuve pourrait-elle être modifiée si l'on considère d'autres modulos, comme $3$ ou $5$ ?
4. Peut-on appliquer une démonstration similaire pour d'autres formes quadratiques comme $n^2 + 1$ ?
5. Quelle est la signification de cette divisibilité dans un contexte plus général de la théorie des nombres ?

Tip : La méthode par contraposée est très utile lorsque la démonstration directe semble complexe ou peu intuitive.