برای اثبات این عبارت از روش اثبات تناقض استفاده می‌کنیم.

فرض:

ما فرض می‌کنیم که $n \in \mathbb{N}$ و $n^2$ فرد است. هدف این است که ثابت کنیم در این صورت $n$ نیز فرد است.

اثبات:

1. فرض بر خلاف: فرض می‌کنیم که $n$ زوج باشد. یعنی $n = 2k$ که $k \in \mathbb{N}$ است.

2. حالا مربع $n$ را حساب می‌کنیم: $n^2 = (2k)^2 = 4k^2.$ این عدد $n^2$ برابر با $4k^2$ است که قطعا زوج است (چون بر ۲ قابل تقسیم است).

3. اما طبق فرض مسئله، گفته شده که $n^2$ فرد است. این با فرض ما که $n$ زوج است و $n^2$ باید زوج باشد، تناقض دارد.

4. بنابراین فرض ما که $n$ زوج بود نادرست است و نتیجه می‌گیریم که $n$ باید فرد باشد.

نتیجه‌گیری:

اگر $n^2$ فرد باشد، آنگاه $n$ نیز فرد است.

---

آیا نیاز به توضیحات بیشتری دارید یا سوالی دارید؟

۵ سوال مرتبط:

1. آیا می‌توان از این استدلال برای سایر خواص اعداد استفاده کرد؟
2. چگونه می‌توان ثابت کرد که اگر $n$ فرد باشد، آنگاه $n^2$ فرد است؟
3. آیا این نتیجه‌گیری فقط برای اعداد طبیعی صدق می‌کند؟
4. چرا نمی‌توان از اثبات مستقیم برای این مسئله استفاده کرد؟
5. اثبات مشابهی برای نشان دادن اینکه اگر $n^2$ زوج باشد، آنگاه $n$ نیز زوج است، چگونه است؟

نکته: در بسیاری از مسائل مشابه، ابتدا فرض بر خلاف (یعنی فرض نادرست) می‌کنیم و سپس تناقض به دست می‌آوریم. این روش به‌ویژه در مسائل مربوط به زوج و فرد کاربرد دارد.