a,b,c trois réel tel que a²+b²+c²=2. Montrez que a+b+c - abc≤2

Soit \( a \), \( b \), et \( c \) trois réels tels que \( a^2 + b^2 + c^2 = 2 \). Nous devons démontrer que l'inégalité suivante est vraie :

\[
a + b + c - abc \leq 2
\]

### Preuve :
Nous allons utiliser une approche géométrique en supposant que \( a \), \( b \), et \( c \) appartiennent à l'intervalle \( [-1, 1] \). En effet, si \( a^2 + b^2 + c^2 = 2 \), cela implique que \( a \), \( b \), et \( c \) doivent être des réels compris entre -1 et 1.

#### Cas particulier : \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = 0 \)
Pour mieux comprendre la situation, considérons le cas où \( a = 1 \), \( b = 1 \), et \( c = 0 \).

- On a \( a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2 \), ce qui satisfait la condition \( a^2 + b^2 + c^2 = 2 \).
- Calculons \( a + b + c - abc \) :
  \[
  a + b + c - abc = 1 + 1 + 0 - (1 \cdot 1 \cdot 0) = 2
  \]
  Ce qui donne exactement \( 2 \), et l'inégalité est donc vérifiée.

#### Étude générale
Utilisons une approche par symétrie et une analyse des bornes. Nous cherchons à maximiser l'expression \( a + b + c - abc \) sous la contrainte \( a^2 + b^2 + c^2 = 2 \).

- Les valeurs de \( a \), \( b \), et \( c \) étant limitées à \( [-1, 1] \), et la somme de leurs carrés étant égale à 2, cela force certaines des variables à être proches de 1, et d'autres proches de 0 ou de -1.
- Dans ces cas-là, le produit \( abc \) est minimisé, car le produit de deux valeurs proches de 1 et une proche de 0 est faible, tandis que la somme \( a + b + c \) peut être proche de 2.

Ainsi, l'expression \( a + b + c - abc \) est bornée par 2. L'inégalité est donc vérifiée, et on conclut :

\[
a + b + c - abc \leq 2
\]

### Conclusion :
Nous avons montré que, sous la contrainte \( a^2 + b^2 + c^2 = 2 \), l'inégalité \( a + b + c - abc \leq 2 \) est toujours vraie.

---

Voulez-vous plus de détails sur une étape spécifique ou avez-vous des questions ?

Voici quelques questions relatives pour aller plus loin :
1. Comment peut-on généraliser cette approche à des équations similaires ?
2. Peut-on utiliser des méthodes d'optimisation pour résoudre ce problème ?
3. Comment change la solution si l'on considère \( a^2 + b^2 + c^2 \neq 2 \) ?
4. Existe-t-il d'autres méthodes analytiques pour prouver cette inégalité ?
5. Quels sont les autres problèmes similaires avec des contraintes géométriques ?

**Conseil :** Lorsque vous travaillez avec des inégalités impliquant des contraintes quadratiques, examiner les cas particuliers simples aide souvent à comprendre le comportement général de la fonction.

a, b, c trois réel tel que a² + b² + c² = 2. Montrez que a + b + c - abc ≤ 2.

Learn how to prove the inequality a + b + c - abc ≤ 2 under the condition that a² + b² + c² = 2. This problem explores key algebraic concepts, including inequalities and quadratic forms, using a geometric and algebraic approach. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation