Soit $a$, $b$, et $c$ trois réels tels que $a^2 + b^2 + c^2 = 2$. Nous devons démontrer que l'inégalité suivante est vraie :

$a + b + c - abc \leq 2$

Preuve :

Nous allons utiliser une approche géométrique en supposant que $a$, $b$, et $c$ appartiennent à l'intervalle $[-1, 1]$. En effet, si $a^2 + b^2 + c^2 = 2$, cela implique que $a$, $b$, et $c$ doivent être des réels compris entre -1 et 1.

Cas particulier : $a = 1$, $b = 1$, $c = 0$

Pour mieux comprendre la situation, considérons le cas où $a = 1$, $b = 1$, et $c = 0$.

• On a $a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + 1^2 + 0^2 = 2$, ce qui satisfait la condition $a^2 + b^2 + c^2 = 2$.
• Calculons $a + b + c - abc$ : $a + b + c - abc = 1 + 1 + 0 - (1 \cdot 1 \cdot 0) = 2$ Ce qui donne exactement $2$, et l'inégalité est donc vérifiée.

Étude générale

Utilisons une approche par symétrie et une analyse des bornes. Nous cherchons à maximiser l'expression $a + b + c - abc$ sous la contrainte $a^2 + b^2 + c^2 = 2$.

• Les valeurs de $a$, $b$, et $c$ étant limitées à $[-1, 1]$, et la somme de leurs carrés étant égale à 2, cela force certaines des variables à être proches de 1, et d'autres proches de 0 ou de -1.
• Dans ces cas-là, le produit $abc$ est minimisé, car le produit de deux valeurs proches de 1 et une proche de 0 est faible, tandis que la somme $a + b + c$ peut être proche de 2.

Ainsi, l'expression $a + b + c - abc$ est bornée par 2. L'inégalité est donc vérifiée, et on conclut :

$a + b + c - abc \leq 2$

Conclusion :

Nous avons montré que, sous la contrainte $a^2 + b^2 + c^2 = 2$, l'inégalité $a + b + c - abc \leq 2$ est toujours vraie.

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Voulez-vous plus de détails sur une étape spécifique ou avez-vous des questions ?

Voici quelques questions relatives pour aller plus loin :

1. Comment peut-on généraliser cette approche à des équations similaires ?
2. Peut-on utiliser des méthodes d'optimisation pour résoudre ce problème ?
3. Comment change la solution si l'on considère $a^2 + b^2 + c^2 \neq 2$ ?
4. Existe-t-il d'autres méthodes analytiques pour prouver cette inégalité ?
5. Quels sont les autres problèmes similaires avec des contraintes géométriques ?

Conseil : Lorsque vous travaillez avec des inégalités impliquant des contraintes quadratiques, examiner les cas particuliers simples aide souvent à comprendre le comportement général de la fonction.