Aby wykazać, że liczba $a = (n+1)(n+2)(n^2+3)$ jest podzielna przez 6 dla każdej liczby naturalnej $n$, należy pokazać, że jest podzielna przez 2 oraz przez 3, ponieważ $6 = 2 \times 3$.

1. Podzielność przez 2

Liczba 6 jest podzielna przez 2, jeśli liczba $a$ jest liczbą parzystą. Przyjrzyjmy się czynnikom w wyrażeniu $a$:

$a = (n+1)(n+2)(n^2+3)$

• $n+1$ i $n+2$ są kolejnymi liczbami, więc jedna z nich musi być liczbą parzystą. Oznacza to, że jeden z tych czynników jest podzielny przez 2.

Zatem $a$ jest podzielne przez 2, ponieważ zawiera czynnik parzysty.

2. Podzielność przez 3

Liczba 6 jest podzielna przez 3, jeśli liczba $a$ jest podzielna przez 3. Zauważmy, że $a = (n+1)(n+2)(n^2+3)$ składa się z trzech czynników. Aby wykazać podzielność przez 3, musimy rozważyć, co się dzieje z tymi czynnikami w zależności od reszty z dzielenia $n$ przez 3, ponieważ liczba podzielna przez 3 musi być przynajmniej jednym z tych trzech czynników podzielna przez 3.

Rozważmy przypadki dla $n \mod 3$:

a) $n \equiv 0 \pmod{3}$

• $n+1 \equiv 1 \pmod{3}$
• $n+2 \equiv 2 \pmod{3}$
• $n^2 + 3 \equiv 0^2 + 3 = 3 \equiv 0 \pmod{3}$

W tym przypadku, $n^2 + 3$ jest podzielne przez 3, więc $a$ jest podzielne przez 3.

b) $n \equiv 1 \pmod{3}$

• $n+1 \equiv 2 \pmod{3}$
• $n+2 \equiv 0 \pmod{3}$
• $n^2 + 3 \equiv 1^2 + 3 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$

W tym przypadku, $n+2$ jest podzielne przez 3, więc $a$ jest podzielne przez 3.

c) $n \equiv 2 \pmod{3}$

• $n+1 \equiv 0 \pmod{3}$
• $n+2 \equiv 1 \pmod{3}$
• $n^2 + 3 \equiv 2^2 + 3 = 7 \equiv 1 \pmod{3}$

W tym przypadku, $n+1$ jest podzielne przez 3, więc $a$ jest podzielne przez 3.

3. Wniosek

Liczba $a = (n+1)(n+2)(n^2+3)$ jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 3, a zatem jest podzielna przez 6 dla każdej liczby naturalnej $n$.

Chciałbyś więcej szczegółów lub masz jakieś pytania? Oto pięć pytań, które rozszerzają ten temat:

1. Jak można sprawdzić, czy liczba $a$ jest podzielna przez inne liczby, np. przez 4?
2. Jakie są inne techniki dowodzenia podzielności, np. dla liczb pierwszych?
3. W jaki sposób można ogólnie dowodzić podzielność wyrażeń algebraicznych?
4. Jak można zastosować tę metodę do innych podobnych wyrażeń algebraicznych?
5. Co się stanie, jeśli zmienimy jeden z czynników, np. w $(n+1)(n+3)(n^2+5)$?

Tip: Zawsze przy dowodzeniu podzielności przez liczbę, sprawdzaj reszty z dzielenia przez czynniki tej liczby.