Untuk membuktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat $n$, ekspresi $n^3 - n$ selalu habis dibagi 6, kita dapat melakukan pembuktian langsung. Langkah-langkahnya sebagai berikut:

Langkah 1: Faktorkan ekspresi $n^3 - n$

Kita mulai dengan memfaktorkan ekspresi $n^3 - n$.

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$

Jadi, ekspresi yang kita miliki sekarang adalah $n(n - 1)(n + 1)$.

Langkah 2: Pembuktian bahwa ekspresi ini habis dibagi 6

Sekarang kita perlu menunjukkan bahwa ekspresi $n(n - 1)(n + 1)$ selalu habis dibagi oleh 6. Kita tahu bahwa 6 dapat difaktorkan menjadi $2 \times 3$, sehingga kita perlu menunjukkan bahwa ekspresi tersebut selalu habis dibagi oleh 2 dan 3.

Pembagian dengan 2:

Perhatikan bahwa dalam tiga bilangan berturut-turut $n-1$, $n$, dan $n+1$, selalu ada paling tidak satu bilangan yang habis dibagi 2. Ini karena setiap tiga bilangan berturut-turut pasti mengandung bilangan genap, dan bilangan genap selalu habis dibagi 2. Oleh karena itu, ekspresi $n(n - 1)(n + 1)$ selalu habis dibagi 2.

Pembagian dengan 3:

Sekarang, kita perhatikan bahwa dalam tiga bilangan berturut-turut $n-1$, $n$, dan $n+1$, selalu ada paling tidak satu bilangan yang habis dibagi 3. Ini karena setiap tiga bilangan berturut-turut pasti mengandung bilangan yang habis dibagi 3. Oleh karena itu, ekspresi $n(n - 1)(n + 1)$ selalu habis dibagi 3.

Langkah 3: Kesimpulan

Karena ekspresi $n(n - 1)(n + 1)$ selalu habis dibagi oleh 2 dan 3, maka ekspresi ini juga selalu habis dibagi oleh 6. Jadi, kita telah membuktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat $n$, $n^3 - n$ selalu habis dibagi 6.

Pertanyaan lebih lanjut:

1. Bagaimana cara menunjukkan bahwa ekspresi $n(n-1)(n+1)$ habis dibagi 2 dan 3 secara terpisah?
2. Apa yang terjadi jika kita mengganti 6 dengan angka lain, seperti 4 atau 5?
3. Apakah ada cara lain untuk membuktikan sifat ini menggunakan konsep lain, seperti teori bilangan modular?
4. Bagaimana pembuktian ini berhubungan dengan konsep bilangan bulat mod?
5. Apa yang akan terjadi jika kita menggunakan ekspresi yang berbeda, misalnya $n^4 - n$?

Tip: Untuk pembuktian yang melibatkan pembagian, selalu periksa sifat angka-angka dalam urutan berturut-turut. Biasanya, angka berturut-turut memiliki properti pembagian yang berguna untuk menyelesaikan masalah.