Για να αποδείξουμε ότι αν $a, b, c$ είναι ακέραιοι και $a \mid b$ και $a \mid c$, τότε $a \mid (bc)$, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

Δεδομένα:

• $a \mid b$: Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ακέραιος $k_1$ τέτοιος ώστε $b = a k_1$.
• $a \mid c$: Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ακέραιος $k_2$ τέτοιος ώστε $c = a k_2$.

Στόχος:

Να δείξουμε ότι $a \mid (bc)$, δηλαδή να δείξουμε ότι υπάρχει ακέραιος $k_3$ ώστε $bc = a k_3$.

Απόδειξη:

1. Ξεκινάμε από την έκφραση $bc$.
2. Αντικαθιστούμε τις τιμές των $b$ και $c$ με βάση τα δεδομένα: $bc = (a k_1)(a k_2)$
3. Απλοποιούμε: $bc = a^2 (k_1 k_2)$
4. Τώρα, βλέπουμε ότι $bc$ είναι πολλαπλάσιο του $a$, γιατί μπορούμε να το γράψουμε ως: $bc = a \cdot (a k_1 k_2)$ Όπου $a k_1 k_2$ είναι ακέραιος (γιατί το γινόμενο τριών ακεραίων είναι ακέραιος). Άρα, ο $bc$ είναι πολλαπλάσιο του $a$, δηλαδή $a \mid bc$.

Συμπέρασμα:

Αφού δείξαμε ότι $a \mid bc$, ολοκληρώσαμε την απόδειξη.

---

Θέλετε περισσότερες λεπτομέρειες ή έχετε απορίες;

Σχετικές ερωτήσεις για εξάσκηση:

1. Τι σημαίνει ότι $a \mid b$ σε μαθηματική γλώσσα;
2. Πώς αποδεικνύεται ότι αν $a \mid b$ και $a \mid c$, τότε $a \mid (b + c)$;
3. Αν $a \mid b$ και $a \mid c$, ισχύει ότι $a \mid (b - c)$; γιατί;
4. Πώς μπορούμε να γενικεύσουμε αυτό το αποτέλεσμα σε πολλαπλάσια περισσότερων αριθμών;
5. Πώς συνδέεται το αποτέλεσμα αυτό με το θεώρημα του Ευκλείδη για το μέγιστο κοινό διαιρέτη;

Συμβουλή: Για να αποδείξεις σχέσεις διαιρετότητας, προσπάθησε πάντα να χρησιμοποιείς ορισμούς και να βρίσκεις έναν τρόπο να εκφράσεις τους αριθμούς ως πολλαπλάσια.