Δείξτε ότι αν a, b, c είναι ακέραιοι και a|b και a|c, τότε a|(bc)

Για να αποδείξουμε ότι αν \( a, b, c \) είναι ακέραιοι και \( a \mid b \) και \( a \mid c \), τότε \( a \mid (bc) \), ακολουθούμε τα εξής βήματα:

### Δεδομένα:
- \( a \mid b \): Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ακέραιος \( k_1 \) τέτοιος ώστε \( b = a k_1 \).
- \( a \mid c \): Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ακέραιος \( k_2 \) τέτοιος ώστε \( c = a k_2 \).

### Στόχος:
Να δείξουμε ότι \( a \mid (bc) \), δηλαδή να δείξουμε ότι υπάρχει ακέραιος \( k_3 \) ώστε \( bc = a k_3 \).

### Απόδειξη:
1. Ξεκινάμε από την έκφραση \( bc \).
2. Αντικαθιστούμε τις τιμές των \( b \) και \( c \) με βάση τα δεδομένα:
   \[
   bc = (a k_1)(a k_2)
   \]
3. Απλοποιούμε:
   \[
   bc = a^2 (k_1 k_2)
   \]
4. Τώρα, βλέπουμε ότι \( bc \) είναι πολλαπλάσιο του \( a \), γιατί μπορούμε να το γράψουμε ως:
   \[
   bc = a \cdot (a k_1 k_2)
   \]
   Όπου \( a k_1 k_2 \) είναι ακέραιος (γιατί το γινόμενο τριών ακεραίων είναι ακέραιος). Άρα, ο \( bc \) είναι πολλαπλάσιο του \( a \), δηλαδή \( a \mid bc \).

### Συμπέρασμα:
Αφού δείξαμε ότι \( a \mid bc \), ολοκληρώσαμε την απόδειξη.

---

Θέλετε περισσότερες λεπτομέρειες ή έχετε απορίες;

Σχετικές ερωτήσεις για εξάσκηση:
1. Τι σημαίνει ότι \( a \mid b \) σε μαθηματική γλώσσα;
2. Πώς αποδεικνύεται ότι αν \( a \mid b \) και \( a \mid c \), τότε \( a \mid (b + c) \);
3. Αν \( a \mid b \) και \( a \mid c \), ισχύει ότι \( a \mid (b - c) \); γιατί;
4. Πώς μπορούμε να γενικεύσουμε αυτό το αποτέλεσμα σε πολλαπλάσια περισσότερων αριθμών;
5. Πώς συνδέεται το αποτέλεσμα αυτό με το θεώρημα του Ευκλείδη για το μέγιστο κοινό διαιρέτη;

**Συμβουλή:** Για να αποδείξεις σχέσεις διαιρετότητας, προσπάθησε πάντα να χρησιμοποιείς ορισμούς και να βρίσκεις έναν τρόπο να εκφράσεις τους αριθμούς ως πολλαπλάσια.

This page explains how to prove that if a divides both b and c, then a also divides the product bc. The solution covers key concepts in number theory and divisibility, and it is suitable for advanced high school students or undergraduates.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation