Υποθέτουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x. Να αποδείξετε ότι f ′ (x) = lim h→0 f (x + h) − f (x − h) 2h .

Για να αποδείξουμε ότι, αν η συνάρτηση \( f \) είναι παραγωγίσιμη στο \( x \), τότε ισχύει:

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h},
\]

θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της παραγώγου και τη σχέση μεταξύ της παραγώγου και της συμμετρικής διαφοράς.

### Βήμα 1: Ορισμός της παραγώγου
Ο ορισμός της παραγώγου της συνάρτησης \( f \) στο σημείο \( x \) είναι:

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.
\]

### Βήμα 2: Παραγωγισιμότητα και συμμετρική διαφορά
Η παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί επίσης να εκφραστεί με τη βοήθεια της συμμετρικής διαφοράς, δηλαδή:

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}.
\]

### Βήμα 3: Σχέση μεταξύ των δύο τύπων
Για να αποδείξουμε ότι οι δύο τύποι είναι ίσοι, μπορούμε να ξεκινήσουμε από τον ορισμό της παραγώγου χρησιμοποιώντας το όριο της συμμετρικής διαφοράς:

\[
\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}.
\]

Μπορούμε να εκφράσουμε τη διαφορά \( f(x+h) - f(x-h) \) ως το άθροισμα δύο διαφορών:

\[
\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} = \frac{1}{2h} \left[ (f(x+h) - f(x)) + (f(x) - f(x-h)) \right].
\]

Αυτό μπορεί να ξαναγραφεί ως:

\[
\frac{1}{2} \left[ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{f(x) - f(x-h)}{h} \right].
\]

### Βήμα 4: Όρια
Όταν \( h \) τείνει στο 0, τα δύο κλάσματα \( \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \) και \( \frac{f(x) - f(x-h)}{h} \) τείνουν και τα δύο στην παράγωγο της \( f \) στο \( x \), δηλαδή στο \( f'(x) \):

\[
\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)
\]

και

\[
\lim_{h \to 0} \frac{f(x) - f(x-h)}{h} = f'(x).
\]

Άρα:

\[
\lim_{h \to 0} \frac{1}{2} \left[ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{f(x) - f(x-h)}{h} \right] = \frac{1}{2} \cdot (f'(x) + f'(x)) = f'(x).
\]

### Συμπέρασμα
Αποδείξαμε ότι:

\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}.
\]

Αυτό δείχνει ότι η παράγωγος της \( f \) στο \( x \) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τη συμμετρική διαφορά.

Έχεις απορίες ή χρειάζεσαι περισσότερες λεπτομέρειες;

### Σχετικές Ερωτήσεις:
1. Πώς επηρεάζει η παραγωγισιμότητα τη συνέχεια της συνάρτησης \( f \);
2. Μπορείς να δώσεις ένα παράδειγμα συνάρτησης όπου η παραγωγισιμότητα αποτυγχάνει αλλά η συμμετρική διαφορά υπάρχει;
3. Πώς μπορείς να χρησιμοποιήσεις τη συμμετρική διαφορά για να εκτιμήσεις την παράγωγο αριθμητικά;
4. Τι συμβαίνει αν η \( f \) είναι συνεχής αλλά όχι παραγωγίσιμη στο \( x \); Ισχύει ακόμα η σχέση;
5. Πώς συνδέεται η συμμετρική διαφορά με την παραγώγιση κατά Schwartz;

### Συμβουλή:
Η συμμετρική διαφορά είναι χρήσιμη για τον υπολογισμό παραγώγων, ειδικά σε περιπτώσεις όπου η συνάρτηση είναι διακριτή ή όταν θέλεις να ελαχιστοποιήσεις τα σφάλματα υπολογισμού σε αριθμητικές μεθόδους.

Learn how to prove the derivative of a function f at point x using the symmetric difference quotient formula. This problem explores the definition of derivatives, limits, and the relationship between symmetric difference and differentiation. Suitable for advanced high school students and college-level calculus enthusiasts.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation