Math Problem Statement
Υποθέτουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x. Να αποδείξετε ότι f ′ (x) = lim h→0 f (x + h) − f (x − h) 2h .
Solution
Για να αποδείξουμε ότι, αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο , τότε ισχύει:
θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της παραγώγου και τη σχέση μεταξύ της παραγώγου και της συμμετρικής διαφοράς.
Βήμα 1: Ορισμός της παραγώγου
Ο ορισμός της παραγώγου της συνάρτησης στο σημείο είναι:
Βήμα 2: Παραγωγισιμότητα και συμμετρική διαφορά
Η παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί επίσης να εκφραστεί με τη βοήθεια της συμμετρικής διαφοράς, δηλαδή:
Βήμα 3: Σχέση μεταξύ των δύο τύπων
Για να αποδείξουμε ότι οι δύο τύποι είναι ίσοι, μπορούμε να ξεκινήσουμε από τον ορισμό της παραγώγου χρησιμοποιώντας το όριο της συμμετρικής διαφοράς:
Μπορούμε να εκφράσουμε τη διαφορά ως το άθροισμα δύο διαφορών:
Αυτό μπορεί να ξαναγραφεί ως:
Βήμα 4: Όρια
Όταν τείνει στο 0, τα δύο κλάσματα και τείνουν και τα δύο στην παράγωγο της στο , δηλαδή στο :
και
Άρα:
Συμπέρασμα
Αποδείξαμε ότι:
Αυτό δείχνει ότι η παράγωγος της στο μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τη συμμετρική διαφορά.
Έχεις απορίες ή χρειάζεσαι περισσότερες λεπτομέρειες;
Σχετικές Ερωτήσεις:
- Πώς επηρεάζει η παραγωγισιμότητα τη συνέχεια της συνάρτησης ;
- Μπορείς να δώσεις ένα παράδειγμα συνάρτησης όπου η παραγωγισιμότητα αποτυγχάνει αλλά η συμμετρική διαφορά υπάρχει;
- Πώς μπορείς να χρησιμοποιήσεις τη συμμετρική διαφορά για να εκτιμήσεις την παράγωγο αριθμητικά;
- Τι συμβαίνει αν η είναι συνεχής αλλά όχι παραγωγίσιμη στο ; Ισχύει ακόμα η σχέση;
- Πώς συνδέεται η συμμετρική διαφορά με την παραγώγιση κατά Schwartz;
Συμβουλή:
Η συμμετρική διαφορά είναι χρήσιμη για τον υπολογισμό παραγώγων, ειδικά σε περιπτώσεις όπου η συνάρτηση είναι διακριτή ή όταν θέλεις να ελαχιστοποιήσεις τα σφάλματα υπολογισμού σε αριθμητικές μεθόδους.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Differentiation
Limits
Formulas
Definition of derivative
Symmetric difference quotient
Theorems
-
Suitable Grade Level
Advanced High School