Math Problem Statement

Υποθέτουμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x. Να αποδείξετε ότι f ′ (x) = lim h→0 f (x + h) − f (x − h) 2h .

Solution

Για να αποδείξουμε ότι, αν η συνάρτηση ff είναι παραγωγίσιμη στο xx, τότε ισχύει:

f(x)=limh0f(x+h)f(xh)2h,f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h},

θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της παραγώγου και τη σχέση μεταξύ της παραγώγου και της συμμετρικής διαφοράς.

Βήμα 1: Ορισμός της παραγώγου

Ο ορισμός της παραγώγου της συνάρτησης ff στο σημείο xx είναι:

f(x)=limh0f(x+h)f(x)h.f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.

Βήμα 2: Παραγωγισιμότητα και συμμετρική διαφορά

Η παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί επίσης να εκφραστεί με τη βοήθεια της συμμετρικής διαφοράς, δηλαδή:

f(x)=limh0f(x+h)f(xh)2h.f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}.

Βήμα 3: Σχέση μεταξύ των δύο τύπων

Για να αποδείξουμε ότι οι δύο τύποι είναι ίσοι, μπορούμε να ξεκινήσουμε από τον ορισμό της παραγώγου χρησιμοποιώντας το όριο της συμμετρικής διαφοράς:

limh0f(x+h)f(xh)2h.\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}.

Μπορούμε να εκφράσουμε τη διαφορά f(x+h)f(xh)f(x+h) - f(x-h) ως το άθροισμα δύο διαφορών:

f(x+h)f(xh)2h=12h[(f(x+h)f(x))+(f(x)f(xh))].\frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} = \frac{1}{2h} \left[ (f(x+h) - f(x)) + (f(x) - f(x-h)) \right].

Αυτό μπορεί να ξαναγραφεί ως:

12[f(x+h)f(x)h+f(x)f(xh)h].\frac{1}{2} \left[ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{f(x) - f(x-h)}{h} \right].

Βήμα 4: Όρια

Όταν hh τείνει στο 0, τα δύο κλάσματα f(x+h)f(x)h\frac{f(x+h) - f(x)}{h} και f(x)f(xh)h\frac{f(x) - f(x-h)}{h} τείνουν και τα δύο στην παράγωγο της ff στο xx, δηλαδή στο f(x)f'(x):

limh0f(x+h)f(x)h=f(x)\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)

και

limh0f(x)f(xh)h=f(x).\lim_{h \to 0} \frac{f(x) - f(x-h)}{h} = f'(x).

Άρα:

limh012[f(x+h)f(x)h+f(x)f(xh)h]=12(f(x)+f(x))=f(x).\lim_{h \to 0} \frac{1}{2} \left[ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{f(x) - f(x-h)}{h} \right] = \frac{1}{2} \cdot (f'(x) + f'(x)) = f'(x).

Συμπέρασμα

Αποδείξαμε ότι:

f(x)=limh0f(x+h)f(xh)2h.f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}.

Αυτό δείχνει ότι η παράγωγος της ff στο xx μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τη συμμετρική διαφορά.

Έχεις απορίες ή χρειάζεσαι περισσότερες λεπτομέρειες;

Σχετικές Ερωτήσεις:

  1. Πώς επηρεάζει η παραγωγισιμότητα τη συνέχεια της συνάρτησης ff;
  2. Μπορείς να δώσεις ένα παράδειγμα συνάρτησης όπου η παραγωγισιμότητα αποτυγχάνει αλλά η συμμετρική διαφορά υπάρχει;
  3. Πώς μπορείς να χρησιμοποιήσεις τη συμμετρική διαφορά για να εκτιμήσεις την παράγωγο αριθμητικά;
  4. Τι συμβαίνει αν η ff είναι συνεχής αλλά όχι παραγωγίσιμη στο xx; Ισχύει ακόμα η σχέση;
  5. Πώς συνδέεται η συμμετρική διαφορά με την παραγώγιση κατά Schwartz;

Συμβουλή:

Η συμμετρική διαφορά είναι χρήσιμη για τον υπολογισμό παραγώγων, ειδικά σε περιπτώσεις όπου η συνάρτηση είναι διακριτή ή όταν θέλεις να ελαχιστοποιήσεις τα σφάλματα υπολογισμού σε αριθμητικές μεθόδους.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Differentiation
Limits

Formulas

Definition of derivative
Symmetric difference quotient

Theorems

-

Suitable Grade Level

Advanced High School