برای اثبات اینکه نیمسازهای داخلی هر مثلث همرسند، از قضیه‌های هندسه اقلیدسی استفاده می‌کنیم. این نقطه تلاقی، مرکز دایره محیطی مثلث نام دارد که دایره‌ای در داخل مثلث رسم می‌شود و مماس با سه ضلع مثلث است.

اثبات:

1. تعریف نیمساز داخلی: نیمساز داخلی هر زاویه، خطی است که زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند و از رأس زاویه شروع شده و به ضلع مقابل مثلث برخورد می‌کند.

2. ویژگی نیمساز داخلی: هر نقطه روی نیمساز داخلی یک زاویه از دو ضلع تشکیل‌دهنده آن زاویه، فاصله‌ای برابر دارد. این ویژگی، یکی از اصول هندسه اقلیدسی است.

3. تعریف نقطه هم‌رس نیمسازها: فرض کنید نیمسازهای داخلی زاویه‌های $\angle A, \angle B, \angle C$ در مثلث $ABC$ رسم شوند. نیمسازهای داخلی در نقطه‌ای به نام $I$ تلاقی می‌کنند. باید نشان دهیم این نقطه یکسان است.

4. اثبات تقاطع نیمسازها:

   • نیمساز زاویه $\angle A$ در نقطه‌ای به ضلع $BC$ برخورد می‌کند و به هر نقطه $P$ روی نیمساز زاویه $\angle A$ داریم: $d(P, AB) = d(P, AC)$ که در آن $d(P, AB)$ و $d(P, AC)$ فاصله از ضلع‌های $AB$ و $AC$ است.

   • به صورت مشابه، نیمساز زاویه $\angle B$ به هر نقطه $Q$ روی آن نشان می‌دهد: $d(Q, BC) = d(Q, AB)$

   • نقطه‌ای که این دو نیمساز تلاقی می‌کنند، $I$، باید همزمان شرایط بالا را برای سه زاویه $\angle A$، $\angle B$ و $\angle C$ برآورده کند.

5. نتیجه: با توجه به این که هر نیمساز، فاصله مساوی از دو ضلع مربوط به زاویه خود را تضمین می‌کند، نقطه $I$ فاصله‌ای برابر از سه ضلع $AB$، $BC$ و $AC$ خواهد داشت. بنابراین، $I$ مرکز دایره‌ای است که درون مثلث مماس بر سه ضلع آن است و نیمسازهای داخلی حتماً در $I$ تلاقی دارند.

نتیجه‌گیری:

نیمسازهای داخلی هر مثلث همیشه در یک نقطه همرسند که این نقطه مرکز دایره محیطی است.

---

سؤالات مرتبط:

1. چگونه می‌توان نیمساز خارجی مثلث را تعریف کرد؟
2. آیا نیمساز داخلی مثلث ویژگی خاص دیگری نیز دارد؟
3. ارتباط بین دایره محیطی و محیطی چیست؟
4. آیا می‌توان نقطه همرس را با مختصات دقیق محاسبه کرد؟
5. چگونه می‌توان این اثبات را با استفاده از مختصات هندسی ارائه داد؟

نکته: برای یافتن نقطه $I$ در مسائل مختصات، معمولاً از محاسبات تعادل وزنی بر اساس اضلاع استفاده می‌شود.