Giải bài toán:

Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3 và biết rằng $p+2$ cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng $p+1$ chia hết cho 6.

Bước 1: Xét tính chẵn lẻ của số nguyên tố

• Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ (vì số chẵn duy nhất là số nguyên tố là 2).
• Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3, nên $p$ là số lẻ.
• Do $p+2$ cũng là số nguyên tố, nó cũng phải là số lẻ.

=> Suy ra $p+1$ là một số chẵn.

Bước 2: Chứng minh $p+1$ chia hết cho 3

• Một số nguyên tố lớn hơn 3 chỉ có thể có dạng $6k+1$ hoặc $6k+5$, vì nếu nó có dạng $6k+0$, $6k+2$, $6k+3$, hoặc $6k+4$, thì nó sẽ chia hết cho 2 hoặc 3, không thể là số nguyên tố.
• Nếu $p = 6k+1$, thì: $p+2 = 6k+3$ Nhưng $6k+3$ chia hết cho 3, nên không thể là số nguyên tố (trừ khi bằng 3, nhưng ta xét $p > 3$). Do đó, trường hợp này không thể xảy ra.
• Nếu $p = 6k+5$, thì: $p+2 = 6k+7$ $p+2$ vẫn là số nguyên tố. Khi đó: $p+1 = 6k+6 = 6(k+1)$ chia hết cho 6.

Kết luận:

Do đó, $p+1$ luôn chia hết cho 6.

Bạn có muốn thêm chi tiết hoặc giải thích nào khác không?

Câu hỏi mở rộng:

1. Tại sao số nguyên tố lớn hơn 3 luôn có dạng $6k+1$ hoặc $6k+5$?
2. Có tồn tại vô hạn số nguyên tố $p$ sao cho $p+2$ cũng là số nguyên tố không?
3. Liệu kết quả $p+1$ chia hết cho 6 có áp dụng cho các số nguyên tố khác không?
4. Nếu $p+2$ là số nguyên tố, có thể khẳng định rằng $p$ và $p+2$ là số nguyên tố sinh đôi không?
5. Nếu xét thêm số nguyên tố $p+4$, có tính chất tương tự nào xảy ra không?

Mẹo toán học:

Số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố có hiệu bằng 2. Người ta vẫn chưa chứng minh được rằng có vô hạn số nguyên tố sinh đôi, nhưng giả thuyết này rất nổi tiếng trong lý thuyết số!