Untuk menyelesaikan soal Teorema 1.1.2 pada bagian b dan c, saya akan memberikan bukti sesuai dengan isi dokumen yang telah diunggah.

Teorema 1.1.2

Teorema ini menyatakan bahwa jika $a \in \mathbb{R}$, maka:

a) Jika $a = 1$, maka $a^n = 1$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$.

b) Jika $a \neq 0$ dan terdapat $n \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $a^n = 1$, maka $a = 1$ atau $a = -1$.

c) Jika $a^2 = 1$, maka $a = 1$ atau $a = -1$.

Bukti untuk Bagian b

Kita diminta membuktikan bahwa jika $a \neq 0$ dan terdapat bilangan $n \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $a^n = 1$, maka $a = 1$ atau $a = -1$.

1. Diketahui bahwa $a^n = 1$ dan $a \neq 0$.
2. Untuk $a = 1$, jelas $1^n = 1$ untuk setiap bilangan asli $n$.
3. Untuk $a = -1$, kita juga memiliki $(-1)^n = 1$ hanya jika $n$ adalah bilangan genap. Dengan kata lain, jika $n$ ganjil, maka $(-1)^n = -1$, dan jika $n$ genap, $(-1)^n = 1$.

Jadi, satu-satunya solusi untuk $a^n = 1$ adalah $a = 1$ atau $a = -1$.

Bukti untuk Bagian c

Kita diminta membuktikan bahwa jika $a^2 = 1$, maka $a = 1$ atau $a = -1$.

1. Diketahui $a^2 = 1$.
2. Ini berarti $a^2 - 1 = 0$, yang dapat difaktorkan menjadi: $(a - 1)(a + 1) = 0$
3. Oleh sifat perkalian nol, kita mendapatkan dua kemungkinan: $a - 1 = 0 \quad \text{atau} \quad a + 1 = 0$ Sehingga: $a = 1 \quad \text{atau} \quad a = -1$

Jadi, $a = 1$ atau $a = -1$.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau ada bagian yang perlu diklarifikasi lebih lanjut?

Pertanyaan Terkait:

1. Apa perbedaan antara pembuktian langsung dan tidak langsung dalam teorema ini?
2. Bagaimana jika syarat $a \neq 0$ dihilangkan dari bagian b?
3. Mengapa hanya bilangan $a = 1$ atau $a = -1$ yang memenuhi $a^n = 1$?
4. Bagaimana kita bisa menggunakan metode induksi untuk pembuktian bagian a?
5. Apa hubungan antara teorema ini dengan sifat aljabar dari bilangan real?

Tip:

Saat membuktikan teorema, selalu periksa asumsi yang diberikan.