Докажи, что если $$ \lim_{n\to+\infty}a_{n}=\text{A}\Rightarrow\forall\left\lbrace n_{k}\right\rbrace:1\le n_1<n_2<\ldots<n_{k}\in\text{ }\lim_{n\to+\infty}a_{nk}=A $$ то

Чтобы доказать, что $\lim_{n\to+\infty} a_n = A \Rightarrow \forall \{n_k\}: 1 \le n_1 < n_2 < \ldots < n_k \Rightarrow \lim_{k \to +\infty} a_{n_k} = A$, воспользуемся определением предела последовательности.

### Доказательство:
Пусть $\lim_{n \to +\infty} a_n = A$. Это значит, что для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $N$, что для всех $n \ge N$ выполняется
\[
|a_n - A| < \varepsilon.
\]

Теперь рассмотрим любую подпоследовательность $\{a_{n_k}\}$, где индексы $n_k$ возрастают: $1 \le n_1 < n_2 < \dots$. Поскольку $n_k \ge k$ для всех $k$, то для всех $k$ достаточно больших, $n_k \ge N$, и, следовательно,
\[
|a_{n_k} - A| < \varepsilon.
\]
Так как $\varepsilon$ можно выбрать сколь угодно малым, это означает, что $\lim_{k \to +\infty} a_{n_k} = A$.

Таким образом, мы доказали, что если $\lim_{n \to +\infty} a_n = A$, то любая подпоследовательность $\{a_{n_k}\}$ также сходится к $A$.

Хотите подробностей или у вас есть вопросы?

### Вопросы для дальнейшего изучения:
1. Что будет, если последовательность $a_n$ расходится?
2. Как формально доказать существование подпоследовательности?
3. Как применить данное утверждение к конкретной последовательности, например, $a_n = \frac{1}{n}$?
4. Что произойдет, если $\{a_n\}$ не имеет предела?
5. Можно ли применить это утверждение к двумерным последовательностям?

**Совет:** Подпоследовательность наследует сходимость исходной последовательности, если она сходится.

Understand the proof of subsequence convergence when a sequence converges to a limit. This problem demonstrates the application of limits and subsequences in calculus, using the formal definition of a limit to prove that any subsequence of a convergent sequence also converges to the same limit. Suitable for university-level calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation