Чтобы доказать, что $\lim_{n\to+\infty} a_n = A \Rightarrow \forall \{n_k\}: 1 \le n_1 < n_2 < \ldots < n_k \Rightarrow \lim_{k \to +\infty} a_{n_k} = A$, воспользуемся определением предела последовательности.

Доказательство:

Пусть $\lim_{n \to +\infty} a_n = A$. Это значит, что для любого $\varepsilon > 0$ существует такое $N$, что для всех $n \ge N$ выполняется $|a_n - A| < \varepsilon.$

Теперь рассмотрим любую подпоследовательность $\{a_{n_k}\}$, где индексы $n_k$ возрастают: $1 \le n_1 < n_2 < \dots$. Поскольку $n_k \ge k$ для всех $k$, то для всех $k$ достаточно больших, $n_k \ge N$, и, следовательно, $|a_{n_k} - A| < \varepsilon.$ Так как $\varepsilon$ можно выбрать сколь угодно малым, это означает, что $\lim_{k \to +\infty} a_{n_k} = A$.

Таким образом, мы доказали, что если $\lim_{n \to +\infty} a_n = A$, то любая подпоследовательность $\{a_{n_k}\}$ также сходится к $A$.

Хотите подробностей или у вас есть вопросы?

Вопросы для дальнейшего изучения:

1. Что будет, если последовательность $a_n$ расходится?
2. Как формально доказать существование подпоследовательности?
3. Как применить данное утверждение к конкретной последовательности, например, $a_n = \frac{1}{n}$?
4. Что произойдет, если $\{a_n\}$ не имеет предела?
5. Можно ли применить это утверждение к двумерным последовательностям?

Совет: Подпоследовательность наследует сходимость исходной последовательности, если она сходится.