在检查该证明之前，让我们先回顾并理清楚这个结论的含义。

问题分析：

假设你有一个序列，序列中的每一项 $p/q$ 都是某个正整数 $n$ 的函数。具体的结论是，给定 $p$ 和 $q$，$n$ 可以通过以下公式计算：

$n = \frac{1}{2}(p+q-1)(p+q-2) + q$

你的任务是证明这个公式对所有正整数 $p$ 和 $q$ 成立。

检查证明步骤：

1. 第1步：对于 $p = 1$ 和 $q = 1$

你计算了 $n$ 的值： $n = \frac{1}{2}(1+1-1)(1+1-2) + 1 = \frac{1}{2}(1)(0) + 1 = 1$ 这一点是正确的。此时 $p = 1$，$q = 1$，对应 $n = 1$。

2. 第2步：假设对于 $p \leq k$ 和 $q \leq k$

此时，你假设对于所有 $p \leq k$ 和 $q \leq k$，结论已经成立。这个假设是合理的，也是归纳法的标准步骤。

3. 第3步：考虑 $p = k+1$ 和 $q \leq k+1$ 的情况

   • 当 $q = 1$ 时： $n = \frac{1}{2}((k+1) + 1 - 1)((k+1) + 1 - 2) + 1 = \frac{1}{2}(k+1)(k) + 1$ 这一步是正确的。它实际上利用了公式中 $p = k+1$ 和 $q = 1$ 的情况来推导出新的 $n$ 值。

   • 当 $2 \leq q \leq k+1$ 时： 你写的是： $n = \frac{1}{2}((k+1) + (q-1) - 1)((k+1) + (q-1) - 2) + q$ 这部分推导的形式没有问题，但从这里推导出具体的 $n$ 值时需要小心。在 $p = k+1$ 和 $2 \leq q \leq k+1$ 的情况下，确实可以用归纳法推导出 $n$，但是需要明确表达。

证明中的一些改进建议：

• 边界条件： 在处理 $p = k+1$ 和 $q = 1$ 时，你正确地使用了归纳法，但为了证明全面性，还需要处理 $p$ 和 $q$ 变化时的所有组合情况。
• 归纳法的结论部分： 对于 $2 \leq q \leq k+1$ 的部分，虽然你写的是结论形式成立，但它更像是一个猜测，需要通过计算给出具体推导或解释每一步的推理。

总结来说，你的证明思路是正确的，但需要在归纳法中更详细地处理 $p$ 和 $q$ 变化的所有情况，尤其是 $2 \leq q \leq k+1$ 时的推导过程。

你希望我详细推导某个部分吗？另外，我建议再检验多一些具体的例子来确认这一结论的普遍适用性。

5个相关问题：

1. 为什么要使用归纳法来证明这个结论？有什么其他的证明方法吗？
2. 在公式中，为什么选择了 $\frac{1}{2}(p+q-1)(p+q-2) + q$ 的形式？它如何反映序列的规律？
3. 如何通过其他方法计算第 $n$ 项对应的 $p/q$ 值？
4. 为什么边界条件 $p = k+1$ 和 $q = 1$ 特别重要？它在序列中的作用是什么？
5. 归纳法的关键步骤是如何推导新的 $n$ 值？能否在一般情况下进行更详细的推导？

一个小提示：

归纳法的证明需要确保所有边界条件都经过验证，尤其在处理变化范围时，仔细检查每一个新情况。