Untuk membuktikan teorema bahwa dimensi dari $\text{Null}(T) + \text{Rk}(T) = 4$, kita dapat menggunakan konsep dari Teorema Rank-Nullity, yang menyatakan bahwa jika $T: V \rightarrow W$ adalah transformasi linier, maka: $\dim(\text{Null}(T)) + \dim(\text{Rk}(T)) = \dim(V).$

Di sini, kita diberikan transformasi linier $T : F^4 \rightarrow F^3$ yang didefinisikan oleh $T(x, y, z, w) = (x + y, z + w, x + z).$

Langkah-langkah pembuktian:

1. Tentukan $\text{Null}(T)$

Untuk menemukan $\text{Null}(T)$, kita cari semua vektor $(x, y, z, w) \in F^4$ sehingga $T(x, y, z, w) = (0, 0, 0)$.

Persamaan yang terbentuk dari $T(x, y, z, w) = (0, 0, 0)$: $x + y = 0,$ $z + w = 0,$ $x + z = 0.$

Dari persamaan $x + y = 0$, kita mendapatkan $y = -x$.

Dari persamaan $z + w = 0$, kita mendapatkan $w = -z$.

Dari persamaan $x + z = 0$, kita mendapatkan $z = -x$.

Maka, kita bisa menuliskan vektor $(x, y, z, w)$ dalam bentuk: $(x, y, z, w) = (x, -x, -x, x) = x(1, -1, -1, 1).$ Jadi, himpunan nol dari $T$ adalah: $\text{Null}(T) = \text{span}\{(1, -1, -1, 1)\}.$ Karena ada satu vektor basis, maka $\dim(\text{Null}(T)) = 1$.

2. Tentukan $\text{Rk}(T)$

Sekarang, kita tentukan citra dari $T$, yaitu $\text{Rk}(T)$. Citra dari $T$ adalah ruang yang dibentang oleh semua vektor $T(x, y, z, w)$ ketika $(x, y, z, w)$ berubah dalam $F^4$.

Jika kita mencari basis dari citra $T$, kita perhatikan bahwa: $T(1, 0, 0, 0) = (1, 0, 1),$ $T(0, 1, 0, 0) = (1, 0, 0),$ $T(0, 0, 1, 0) = (0, 1, 1),$ $T(0, 0, 0, 1) = (0, 1, 0).$

Dengan mengambil vektor-vektor ini, kita lihat bahwa vektor $(1, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 1)$, dan $(0, 1, 0)$ dapat digunakan sebagai vektor-vektor pembentuk citra dari $T$.

Namun, kita periksa apakah ada ketergantungan linier di antara vektor-vektor ini: $(1, 0, 1) - (1, 0, 0) = (0, 0, 1),$ $(0, 1, 1) - (0, 1, 0) = (0, 0, 1).$ Jadi, kita hanya membutuhkan tiga vektor bebas linier, yaitu $(1, 0, 0), (0, 1, 0)$, dan $(0, 0, 1)$, yang membentang seluruh citra $T$.

Dengan demikian, $\dim(\text{Rk}(T)) = 3$.

3. Verifikasi Teorema Rank-Nullity

Dari perhitungan di atas, kita telah menemukan bahwa: $\dim(\text{Null}(T)) = 1 \quad \text{dan} \quad \dim(\text{Rk}(T)) = 3.$ Sehingga: $\dim(\text{Null}(T)) + \dim(\text{Rk}(T)) = 1 + 3 = 4.$

Ini sesuai dengan dimensi dari domain $F^4$, sehingga teorema Rank-Nullity terbukti benar.

Kesimpulan

Teorema $\text{Null}(T) + \text{Rk}(T) = 4$ terbukti benar.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut, atau memiliki pertanyaan lain?

Pertanyaan terkait:

1. Bagaimana jika transformasi linier memiliki citra yang lebih kecil dari dimensi 3? Bagaimana itu akan mempengaruhi teorema Rank-Nullity?
2. Dapatkah kita menggunakan basis lain untuk mencari citra $T$ dan membuktikan dimensi yang sama?
3. Apa dampak dimensi ruang awal $F^4$ pada rank transformasi linier lain?
4. Apakah bisa diperoleh transformasi $T$ lain dengan $\text{Null}(T) > 1$?
5. Bagaimana cara menentukan rank tanpa mencari vektor citra eksplisit?

Tip: Untuk mencari kernel (null space) dari transformasi linier, cobalah menetapkan kondisi $T(v) = 0$ dan menyelesaikan sistem persamaan linear yang dihasilkan.