Cho tam giác cân $ABC$ với $AB = AC$, gọi $H$ là trực tâm của tam giác, đường cao $CE$ vuông góc với $AB$ tại $E$. Gọi $D, M, N$ lần lượt là trung điểm của $BC, AB, CH$. Cần chứng minh rằng 4 điểm $D, M, E, N$ cùng nằm trên một đường tròn.

Chứng minh:

Để chứng minh rằng 4 điểm $D, M, E, N$ cùng nằm trên một đường tròn, ta sẽ chứng minh rằng tứ giác $DMEN$ nội tiếp đường tròn, tức là $\angle DMN + \angle DEN = 180^\circ$.

Bước 1: Xét tam giác $ABC$ cân tại $A$

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$, nên $H$ nằm trên đường cao $AH$ của tam giác. Đường cao $CE$ của tam giác vuông tại $E$, và $CE$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Bước 2: Xét đường tròn đường kính $CH$

Vì $N$ là trung điểm của $CH$, nên $CN = NH = \frac{CH}{2}$. Đường tròn đường kính $CH$ có tâm $N$ và $E$ thuộc đường tròn này vì $CE \perp AB$.

Bước 3: Chứng minh tứ giác $DMEN$ nội tiếp

1. $CE$ là đường cao xuất phát từ $C$ và vuông góc với $AB$, nên $\angle CEN = 90^\circ$.
2. Xét tam giác $AHB$ với $AB$ là cạnh đối diện của góc vuông $\angle AHB = 90^\circ$. Do đó, $M$ thuộc đường tròn với đường kính $AB$.
3. Tứ giác $DMEN$ sẽ nội tiếp nếu tổng hai góc đối của tứ giác là $180^\circ$. Chúng ta xét hai góc $\angle DMN$ và $\angle DEN$.
   • $\angle DMN$ là góc nội tiếp trong đường tròn đường kính $CH$, nên $\angle DMN = 90^\circ$.
   • $\angle DEN$ cũng là góc nội tiếp trong đường tròn với đường kính $AB$, nên $\angle DEN = 90^\circ$.

Vậy, $\angle DMN + \angle DEN = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Do đó, tứ giác $DMEN$ nội tiếp đường tròn, tức là 4 điểm $D, M, E, N$ cùng nằm trên một đường tròn.

---

Bạn có muốn tôi giải thích chi tiết thêm hoặc có câu hỏi nào khác không? Dưới đây là một số câu hỏi mở rộng:

1. Tính độ dài của đoạn $CH$ trong tam giác cân $ABC$.
2. Chứng minh rằng $M, N$ cùng nằm trên đường tròn Euler của tam giác $ABC$.
3. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $DMEN$.
4. Chứng minh rằng $D, M, N$ thẳng hàng khi $E$ trùng với $D$.
5. Xét trường hợp tổng quát khi tam giác $ABC$ không cân, điều kiện để 4 điểm $D, M, E, N$ cùng nằm trên một đường tròn là gì?

Mẹo: Khi chứng minh 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn, việc sử dụng các góc nội tiếp và góc đối có tổng bằng $180^\circ$ là rất hiệu quả.